わからないです

質問

(1)がわかりません。

mg?-mgなど符号もわからないです。

(2)～(8)も教えて頂けるならとても嬉しいですが…

宜しくお願いします。

回答No.2

SKJAXN · ベストアンサー

見辛くて申し訳ありませんがテキスト入力のため、1次微分の表記を(d/dt)f[x]、n次微分の表記を(dn/dtn)f[x]、シグマ和の表記を{x=a→b}∑f[x]とさせていただきます。

(1) 鉛直上向きを正にした場合の運動方程式は、
m*(d2/dt2)y=-m*g-m*β*(d/dt)y //

(2) m*(d/dt)v=-m*g-m*β*v ⇔ (d/dt)v=-g-β*v // →{1}

(3) (d/dt)v=-β*(v+g/β) ⇔ 1/(v+g/β)*dv=-β*dt
両辺積分して、
log|v+g/β|=-β*t+Co {ここでCoは任意定数}
⇔ v+g/β=±exp(-β*t+Co)
任意定数を ±exp(Co)=C として一般解を求めると、
v[t]=C*exp(-β*t)-g/β //

(4) v[0]=C-g/β=0 より、任意定数は C=g/β であるため、
v[t]=g/β*exp(-β*t)-g/β // →{2}

(5) マクローリン展開の式は、
f[x]=f[0]+(d/dx)f[0]*x+{n=2→∞}∑((dn/dtn)f[0]/n!*x^n)

で表わせますが、1次の項まで書けと言うので {n=2→∞}∑((dn/dtn)f[0]/n!*x^n) の項は省かれます。よって、
v[t]=v[0]+(d/dt)v[0]*t →{3}

ここで式{2}より、
(d/dt)v[t]=-g*exp(-β*t)

であるため、(d/dt)v[0]=-g です。さらに v[0]=0 ですから、式{3}に代入すると、
V[t]=-g*t //

(6) t→∞ では、exp(-β*t) がほぼ0になりますので、終端速度は
v[∞]=-g/β //

(7) 式{2}の概形を描いて下さい。

(8) (6)の結果より、終端状態では等速度となることを考慮すると、重力と釣り合う。よって、速度の大きさは
m*g=m*Γ*v^2 ⇔ v=√(g/Γ) //

いかがでしょう？

回答No.1

satuchiko

mdv/dt=-mg-mβv
になると思いますが。。dv/dtをd^2y/dt^2にしてもいいかも。
(2)以降は、とりあえず、vについての微分方程式なので、vを求める。
v=g(exp(-t)-1)/β
t→∞とすると、-g/β(つまり、下向きにg/β)
マクローリン展開はexp(t)=1+t+t^2/2!+t^3/3!+・・・を利用。（この式のtに-tを入れる）
最後はもう一度運動方程式たててみては？

お礼

satuchikoさん
ありがとうございました。
感謝します。