証明問題の答えあわせをお願いします。
証明問題の答えあわせをお願いします。
問．a+b+c+abc=4、a≧0 b≧0 c≧0の時a+b+c≧ab+bc+caを示せ。
自分の答え．
f(a,b,c) = a+b+c-ab-bc-ca = a(1-b-c)+b+c-bcとおく。
条件より
a≧0,b≧0,c≧0 …(1) a+b+c+abc=4 …(2)
また、本問では対称性より a≧b≧c…(3)の場合を考えるだけで十分である。
まず、a,b,cの取りうる範囲について考える。
a+b+c+abc
≧2√(ab)+c+abc （∵相加相乗平均）
＝2√(ab)+c(1+ab)
≧2√(ab)+c・2√(ab) （∵相加相乗平均）
＝2√(ab)・(c+1)
≧2√(ab)・2√c （∵相加相乗平均）
＝4√(abc)
従って、(2)より1≧abc…(4)が成り立つ。
また、(2)を変形するとa=(4-b-c)/(1+bc)となり、
a=(4-b-c)/(1+bc)≦4/(1+bc)≦4 ∴a≦4…(5)
次に、aについて場合分けしてf(a,b,c)≧0を示す。
(1)1＞a≧0の場合
(3)より1＞a≧b≧c、1＞abcとなるので、4＞a+b+c+abcとなり、これは(2)に反する。
(2)a≧1の場合
(5)より1≦a≦4となり、また(4)よりbc≦1…(6)
ここで、f(a,b,c)はaについての1次関数と見なせるので、
区間1≦a≦4の両端におけるf(a,b,c)の値を求めると、
a=1のときf(1,b,c) = 1-bc ≧0 （∵(6)）
a=4のとき、(2)よりb,cのとりうる値はb=c=0のみなので、f(4,0,0) = 0
ここで、f(a,b,c)はaについての1次関数なので、区間1≦a≦4において直線的に変化する。
以上より、常にf(a,b,c)≧0となるので、題意は示された。■
全体的にもやもやしてますが、特に最後の数行がどうも自信がありません。横軸にa、縦軸にfを取ったとき、b,cが変化しても、(1,1-bc)と(4,0)を結ぶ直線上で変化するのだからf≧0としたのですが、大丈夫でしょうか。
また、元の式がきれいなので、因数分解して○≧0のような式にしたり、他のエレガントな方法を思いついた方は教えてください。長くなりましたが、よろしくお願いいたします。
