三角関数 微分方程式について

質問

y''+k^2*y=sinkx
の微分方程式の特殊解を求めてください。
お願いします。

回答No.1

muturajcp

y"+k^2*y=sinkx
D=d/dx
(D^2+k^2)y=sinkx
y=e^{ikx}∫e^{-2ikx}∫[e^{ikx}(D^2+k^2)y]dxdx
=e^{ikx}∫e^{-2ikx}∫[e^{ikx}sinkx]dxdx
=e^{ikx}∫e^{-2ikx}∫[e^{ikx}i(e^{-ikx}-e^{ikx})/2]dxdx
=e^{ikx}∫e^{-2ikx}∫[i(1-e^{2ikx})/2]dxdx
=e^{ikx}∫e^{-2ikx}[ix/2-e^{2ikx}/(4k)+c1]dx
=e^{ikx}∫[ixe^{-2ikx}/2-{1/(4k)}+c1e^{-2ikx}]dx
=e^{ikx}[-xe^{-2ikx}/(4k)-{x/(4k)}+c1e^{-2ikx}+c2]
=-x(e^{-ikx}+e^{ikx})/(4k)+c1e^{-ikx}+c2e^{ikx}
=-xcos(kx)/(2k)+c1e^{-ikx}+c2e^{ikx}
c1=c2=0のとき
y={-xcos(kx)}/(2k)