代数（解析）の問題です

質問

写真の問題です。
よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

4
S(R)={f:R→C|(∀m∈N)(∀k∈N)(∃C_1>0) |(d/dx)^k{f(x)}|≦C_1(1+|x|)^{-m}}
(1)
a∈C
{f,g}⊂S(R)
(∀m∈N)(∀k∈N∪{0})
(∃C_1>0) |(d/dx)^k{f(x)}|≦C_1(1+|x|)^{-m}
(∃C_2>0) |(d/dx)^k{g(x)}|≦C_2(1+|x|)^{-m}
|(d/dx)^k{f(x)+g(x)}|
=|(d/dx)^k{f(x)}+(d/dx)^k{g(x)}|
≦|(d/dx)^k{f(x)}|+|(d/dx)^k{g(x)}|
≦(C_1+C_2)(1+|x|)^{-m}
→f+g∈S(R)
|(d/dx)^k{af(x)}|
=|a||(d/dx)^k{f(x)}|
≦(|a|C_1)(1+|x|)^{-m}
→af∈S(R)
(2)
P(x)=x^2
f(x)=1
とすると
df/dx=0
だから
f∈S(R)
f(x)P(x)=P(x)=x^2
∀n>0に対して
∃x>n
|(dP/dx)(1+|x|)|=2|x|(1+|x|)>2n(1+n)>n
|(dP/dx)|>n(1+|x|)^{-1}
となるxがあるから
P(x)f(x)はS(R)に属さない

(3)
f∈S(R)
(∀m∈N)(∀k∈N)(∃C_1>0),|(d/dx)^{n+k}f(x)|≦C_1(1+|x|)^{-m}
|{(d/dx)^k}{(d/dx)^n}f(x)}|≦C_1(1+|x|)^{-m}
{(d/dx)^n}f(x)∈S(R)

(4)
a>0
(d/dx)e^{-ax^2}=-2axe^{-ax^2}
ある自然数kに対して
{(d/dx)^k}e^{-ax^2}=P_k(x)e^{-ax^2}
となる多項式P_k(x)があると仮定すると
{(d/dx)^{k+1}}e^{-ax^2}={(P_k(x))'-2axP_k(x)}e^{-ax^2}
P_{k+1}(x)={(P_k(x))'-2axP_k(x)}とすると
P_{k+1}(x)も多項式となるから
任意の自然数kに対して
{(d/dx)^k}e^{-ax^2}=P_k(x)e^{-ax^2}
となる多項式P_k(x)がある
(∀m∈N)
[(1+|x|)^m]|{(d/dx)^k}e^{-ax^2}|=|[(1+|x|)^m]P_k(x)e^{-ax^2}|
P(x)=[(1+|x|)^m]P_k(x)とすると
P(x)は多項式だから
C_1e^{ax^2}>|P(x)|
となるC_1がある
[(1+|x|)^m]|{(d/dx)^k}e^{-ax^2}|=|P(x)e^{-ax^2}|≦C_1
{(d/dx)^k}e^{-ax^2}|≦C_1(1+|x|)^{-m}
e^{-ax^2}∈S(R)

5
sin(πα)=παΠ_{n=1～∞}{1-(α^2/n^2)}=Σ_{n=0～∞}((-1)^n)(πα)^{2n+1}/(2n+1)!

α^3の係数比較すると
-πΣ_{n=1～∞}(1/n^2)=(-π^3)/6
Σ_{n=1～∞}(1/n^2)=(π^2)/6

α^5の係数比較すると
πΣ_{n=1～∞,m=n+1～∞}{1/(mn)^2}=(π^5)/120
Σ_{n=1～∞,m=n+1～∞}{1/(mn)^2}=(π^4)/120
Σ_{n=1～∞}(1/n^4)=(π^4){(1/36)-(1/60)}=(π^4)/90