重積分について

質問

曲面 Z=x^2+y^2と平面z=2xに囲まれた部分の体積を求めよ。
この問題がわかりません。この問題はグラフがかけないと求められないのでしょうか？
仮にグラフを用いなくても求められる場合その方法を教えていただけると幸いです。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足の質問の回答

>計算が少し複雑そうだったので極座標を使って求めてみたのですが、問題の答えπ/2とは微妙に違うπ/4が出てきてしまいます。

極座標もどきで極座標ではないのに、極座標と勘違いしてθの範囲を間違えただけですね。
極座標は原点を中心にして（r,θ)を考えないといけませんね。

>まず(x-1)^2+y^2≦1…(★)のx-1=rcosθ y=rsinθ とおいて、　0≦r≦1　-π/2≦θ≦π/2

極座標もどきなので「0≦r≦1　-π≦θ≦π」としないと(★)の領域と同じになりませんね。

>2*∫[0,π/2]∫[0,1] (1-r^2)r drdθ=2*∫[0,π/2] 1/4 dθ=π/4となってしまいます。
単に積分領域を修正すれば正しい結果の「π/2」が得られますよ。
正：2*∫[0,π]∫[0,1] (1-r^2)r drdθ=2*∫[0,π] 1/4 dθ=π/2

>極座標を用いたのはまずかったのでしょうか。
極座標もどきなので、積分領域がXY座標平面でもrθ極座標平面でも同じでないといけません。x-1=rcosθ,y=rsinθの式で (r,θ)を「0≦r≦1,-π/2≦θ≦π」の範囲で変化させたとき、(x,y)がD={(x,y)|(x-1)^2+y^2≦1}の全領域をカバーできるか、チェックしてみてください。半円板の領域しかカバーしていないことが分かると思います。
極座標もどきでも問題ないですが、積分領域は１：１に写像されていないといけませんね。

>やはり回答者さんのやり方で計算するしかないのでしょうか。
上で回答したようにθの積分範囲を正しく訂正すれば質問者さんのやり方で問題ないですよ。
僕がA#1に書いた積分もあと少しで最後まで積分できて「π/2」という結果がでてきます。

変数変換するときは、積分領域を間違わないように、返還前と変換後で同値（等価）になっていて積分領域の写像が確実に行われたかを確認した方が良いですね。

お礼

有難うございました。おかげでやっと解けました。確かにあのθの定義域では円の領域を満たせませんね。以後気を付けます！

回答No.1

info22_

体積を求める立体の形状を頭の中にイメージできること、あるいはXYZ座標空間に描けることは問題を解く上で間違いを防ぐことや計算式を立てる上で大切なことです。別の機会に勉強しておいてください。フリーソフトの3次元プロットソフト「3D-Grapes」(GRAPESで検索するとそのHPの中にあり、ダウンロード先や使用例が見つかります。)

ここでは図を書かない方法（ただし頭の中には立体的なイメージをした方が良い）
先ず、求める立体をXY平面に平行投影したx,yの領域を求めてやります。
z=x^2+y^2 …(1)
z=2x …(2)
(1),(2)からzを消去して
x^2-2x+y^2=0
(x-1)^2+y^2=1 …(3)
これが立体のXY平面へ投影した境界線になります。したがって積分領域Dはこの内部になります。つまり、
D={(x,y)|(x-1)^2+y^2≦1}
この領域DをXY平面に図示してみて下さい。この中心(1,0),半径1の円板内の領域をくまなく尽くすようにdx,dyの積分範囲を決めてやれば良いですね。

求める立体の上面の式が(2),下の曲面の式が(1)になるので
体積V=∫∫[D] (z1-z2)dxdy=∫∫[D] (2x-(x^2+y^2))dxdy
=∫[x:0,2] dx ∫[y:-√{1-(x-1)^2},√{1-(x-1)^2}] (2x-x^2-y^2)dy
=∫[x:0,2] dx 2∫[y:0,√{1-(x-1)^2}] (2x-x^2-y^2)dy
=∫[x:0,2] 2dx [(2x-x^2)y-(1/3)y^3]_(y=√{1-(x-1)^2})
=∫[0,2] 2[(2x-x^2)√{1-(x-1)^2}-(1/3)(√{1-(x-1)^2})^3]dx
=2∫[0,2] [{1-(x-1)^2}√{1-(x-1)^2}-(1/3){1-(x-1)^2}(√{1-(x-1)^2})]dx
=(4/3)∫[0,2] [{1-(x-1)^2}√{1-(x-1)^2}dx
x-1=tで置換積分すると
　V=(4/3)∫[-1,1] [{1-t^2}√{1-t^2}dt
=(8/3)∫[0,1] [{1-t^2}√{1-t^2}dt
さらに,t=sin(u)で置換積分すると　dt=cos(u)du　なので
　V=(8/3)∫[0,π/2] (cos(u))^2*|cos(u)|*cos(u)du
=(8/3)∫[0,π/2] (cos(u))^4 du
この積分はできませんか？自力でやってみてください。
倍角の公式　2(cos(u))^2=1+cos(2u)
を使って積分すると良いでしょう。

やってみてわからなければ、やった計算を補足に書いて、きいて下さい。

補足

計算が少し複雑そうだったので極座標を使って求めてみたのですが、問題の答えπ/2とは微妙に違うπ/4が出てきてしまいます。

まず(x-1)^2+y^2≦1のx-1=rcosθ y=rsinθ とおいて、　0≦r≦1　-π/2≦Θ≦π/2
2*∫[0,π/2]∫[0,1] (1-r^2)r drdθ=2*∫[0,π/2] 1/4 dθ=π/4となってしまいます。
極座標を用いたのはまずかったのでしょうか。やはり回答者さんのやり方で計算するしかないのでしょうか。