質問物理大学 ツィオルコフスキーの公式鉛直求め方

質問

ツィオルコフスキーの公式において、
ロケッがを鉛直方向に進むときのロケットの速度を求める式で、
導き方がわからないのでお願いします。

水平方向に進む場合の求め方は
全運動量の保存則→運動方程式→積分→初期条件の手順で
求められると思うのですが、理解できました。

鉛直の場合、
この手順でどこで重力g[m/s^2]が登場するのかなどがわかれば
求め方がわかると思うんですが。。。
説明お願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

（１）　「全運動量の保存則」の段階で，重力による負の力積を考慮すればよいと思います。
（２）　運動方程式の段階で，右辺の力に重力を考慮しても同じです。

時刻 t におけるロケットの質量 M(t) ，速度 V(t) とします。ロケットがガスを噴射する相対速度の大きさを v とすると，運動量保存により
MV = (M + dM)(V + dV)+(-dM)(V - v)

これがツィオルコフスキーの方程式導出の出発点ですが，重力を考慮すると

MV - Mg dt = (M + dM)(V + dV)+(-dM)(V - v)
∴dV = - vdM/M - gdt

これを初期条件　M(0)=M_0,V(0)=0　として積分すると，

V(t) = -v log(M_0/M(t)) - gt

となると思います。

参考：
http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/152.html
http://spacesite.biz/ussrspace18.htm

お礼

ありがとうございます。
- Mg dtをMVの後につけていいのか迷ってましたが、
参考も見て理解できました。