計測工学のジャンルに関する質問なのですが・・・

質問

周期Tのデルタ関数列でサンプリングを行う場合、以下の定理が成り立つ。信号f(t)が(1)より(2)い角周波数成分を含んでいない時、(3)秒ごとの標本値から元の連続信号が完全に復元できる。

人間は20[kHz]以下の音のみを聞き取ることができる。よって、音声や音楽をデジタル信号に変換する際、元のアナログ信号に含まれる人間にとって意味のある情報が失われないようにするためには、(4)[kHz]以下の周波数成分のみを通過させる(5)フィルタを通した後、(6)[kHz]以上のサンプリング周波数でサンプリングしなければならない。

問.　(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、に適した語句を答えなさい。

調べたところ、(1)π/T(2)高い(3)Tとなったのですがどうでしょうか?　しかし、調べても(4)、(5)、(6)については全然わかりません。
標本化定理なるものは習ったのですが何をすればいいのかわからなくて困っています。
どうか解説をお願いします。

回答No.1

sat000 · ベストアンサー

ナイキストのサンプリング定理の話ですね。
サンプリング周波数f0とすると、単一周波数の正弦波の場合に限り、f0/2までが再現できるということに一応なっています。
不規則信号の場合はおおよそf0/2.2まで再現できるとされているようです(どこで知ったかは忘れました、すみません)。
20 kHzの2.2倍は44 kHzですね。
ですからCDのサンプリング周波数は44.1 kHzとなっていますし、ローパスフィルタのカットオフは20 kHzもしくはそれよりも低い周波数が望ましいことになります。
なぜそれよりも低い周波数と書いたかというと、フィルタというのは、ある周波数から突然信号を通さなくすることは不可能で、ある減衰率を持っているからです。
単純なフィルタだと-6 dB/octとか-12 dB/octですが、CDなどではもっと急峻にしたいはずなので、高次のチェビシェフフィルタ等が使われているのではないかと推測します。
実際のカットオフは、この減衰率を考慮して決められているはずです(周波数特性とエリアジングとの兼ね合いを考えて決める)。
なお、単一周波数の正弦波の場合に再現できる限界周波数f0/2は理論限界であり、正弦波の最大値と最小値を偶然ピックアップできた場合に限り正確に再現できます。
それ以外の場合は、振幅あるいは位相を知っている等、別の情報が無い限り、正確には再現できません(f0/2だと1周期にちょうど2点しかデータが無いことから容易に想像できると思います)。
従って実用上はもう少し低い周波数が再現できる上限になります。
以上の情報があれば宿題？には答えられると思います。

お礼

ナイキストのサンプリング定理で調べたらいろいろなことがわかりました。これでこの課題を解くことができます。詳しい解説ありがとうがございました。