確率と信頼性・・・？

質問

中が見えない袋があって、中には玉が１０個入っています。
袋には白玉Ｘ個と赤玉Ｙ個が入っています。

中から玉を取り出し、でた玉の色を記録して、また戻します。
１０回行った時点では、白７回、赤３回でした。
１００回行った時点で、白８５回、赤１５回でした。
１０００回行ったら、白９０７回、赤９３回でした。

実は中には白９個、赤１個が入っているのですが、
数学上、何回引けば「白９個赤１個で、ほぼ間違いない」といえるでしょうか？
（８０％以上の信頼性がある・・・とか）

計算の仕方を教えてください。
あまり数学は強くありませんが、がんばって勉強します。

回答No.1

井口 豊（@Iguchi_Y） · ベストアンサー

これは，白か赤か，という二者択一の二項分布に従うと考えます。

このような場合，母集団が標本に比べて十分大きなときは，確率 p, q （p + q =1) の標本を誤差d，信頼水準σで抽出するために必要な標本数 n は，

n = σ^2 * p * q / d^2

という近似式で表されます。

テレビや新聞の内閣支持率調査で，どのくらいの標本数（調査人数）が必要か考えるとき，このような計算が必要となります。
その場合，d は，1～3％，つまり，0.01～0.03くらいです。

σは基準（標準）正規分布の偏差値です。
学校の試験で偏差値と呼ばれるものは，これをさらに10倍したものです。

σ= 1なら，約68.3％
σ= 2なら，約95.5％
σ= 3なら，約99.7％

の信頼水準となります。

質問の場合，p = 0.9, q = 0.1 であり，その誤差を d = 0.01，信頼水準95％（σ= 1.96)とすると

n = 1.96^2 * 0.1 * 0.9 / 0.01^2 = 3457.44

つまり，3458回引けば良いことになります。

また，質問では，白：赤 = 9 : 1 と分かっている場合でしたが，この比が不明な場合は，p = q = 0.5 とします。
このとき，p * q が，最大値を与えるので，高々～の見積もりができます。

質問の場合で，p = q = 0.5 とすると，n = 9604 となります。

なお，住民の意識調査で同様な計算（賛成・反対を問う）をする際の必要標本数が，例えば，埼玉県庁統計課の以下のサイトで見られますので，参考にしましょう。
http://www.pref.saitama.lg.jp/site/toukeifaq/q1-8.html

お礼

早い回答ありがとうございます。
しかも、とてもわかりやすかったです。
あまり数学は得意ではありませんが、私でも公式に当てはめて解くことができました。

教えてくださった埼玉県のサイトも大変わかりやすく書いてありました。
ありがとうございます。