偏微分の問題です。お願いします。

質問

Φ(x,y,z)=-GMm/√(x^2+y^2+z^2)で
dΦ(x(t),y(t),z(t))/dtを求めよ というものです
この場合dx/dtはどのように求めるのでしょうか？
わかる方お願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

＞＞＞この場合dx/dtはどのように求めるのでしょうか？

ｄｘ／ｄｔ　は　ｄｘ／ｄｔ　です。
それ以上でもそれ以下でもありません。
なぜなら、ｘ　が　ｔ　に対してどういう関数になっているかの情報が何もないからです。

Φ（ｘ、ｙ、ｚ）　＝　－ＧＭｍ／√（ｘ^2　＋　ｙ^2　＋　ｚ^2）

商の微分により、
ｄΦ／ｄｔ　＝　（ＧＭｍ・ｄ√（ｘ^2　＋　ｙ^2　＋　ｚ^2）／ｄｔ）／（√（ｘ^2　＋　ｙ^2　＋　ｚ^2））^2
　＝　ＧＭｍ（ｄ√（ｘ^2　＋　ｙ^2　＋　ｚ^2）／ｄｔ）／（ｘ^2　＋　ｙ^2　＋　ｚ^2）
普通に合成関数の微分で、
　＝　ＧＭｍ（２ｘ・ｄｘ／ｄｔ　＋　２ｙ・ｄｙ／ｄｔ　＋　２ｚ・ｄｚ／ｄｔ）・１／（２√（ｘ^2　＋　ｙ^2　＋　ｚ^2）・１／（ｘ^2　＋　ｙ^2　＋　ｚ^2）
　＝　ＧＭｍ（ｘ・ｄｘ／ｄｔ　＋　ｙ・ｄｙ／ｄｔ　＋　ｚ・ｄｚ／ｄｔ）／（ｘ^2　＋　ｙ^2　＋　ｚ^2）^(3/2)

これ、表題に「偏微分の問題です」とありますけど、スカラー（Φ）をｔで微分してスカラー（ｄΦ／ｄｔ）になりますから、どこにも偏微分は出てきませんけど。

お礼

詳しくありがとうございます。
dΦ/dt=(∂Φ/∂x)(dx/dt)+(∂Φ/∂y)(dy/dt)+(∂Φ/∂z)(dz/dt)だと思ったのでてっきり偏微分かと思ってしまいました。