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【至急】熱化学の問題がわかりません

25℃で完全燃焼させた1molのCOに2molのO2を混ぜた混合気体がある この気体の理論上の最高℃は何になるか 次のデータを用いて答えよ COの燃焼熱 -282.99kjmol^-1 気体のモル熱容量(Jmol^-1) O2(g) Cp=25.50+13.61×10^-3T-42.6×10^-7T^2 CO2(g) Cp=26.76+42.65×10^-3T-148×10^-7T^2 という問題がわかりません 回答お願いします

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  • 化学
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  • 回答No.1

もしこれが実用上の必要に基くものでなく、練習問題だとしたら驚きです。単純に発生した熱が生成物である1.5 molのO2と1 molのCO2の温度上昇に使われ、比熱は298 Kのままだとしたら非常に高温になることは容易に予想できますね。 建前上の正攻法でやってみます。T,P,ξ(反応進行度)を独立変数とします。ここで、dξ=dni/νiです。化学反応式の中で、ある成分iのモル数変化をdniとしたとき、それを化学式の係数νi(ただし原系の係数を負、生成系の係数を正とします。)で割ったものです。dξは全ての成分について共通になります。dξ/dtは反応速度となります。熱力学第一法則により dU=dQ-PdV...(1) ところで、状態量Uを独立変数T,P,ξで表したときの全微分は dU=(∂U/∂T)_p,ξdT+(∂U/∂P)_t,ξdP+(∂U/∂ξ)_t,pdξ...(2) となります。_p,ξなどは偏微分の時に固定している変数を意味します。(1)に出ているdVのVは従属変数になりますのでこれもT,P,ξで表します。 dV=(∂V/∂T)_p,ξdT+(∂V/∂P)_t,ξ+(∂V/∂ξ)_t,pdξ...(3) (2)と(3)を(1)に入れて整理すれば dQ={(∂U/∂T)_p,ξ+P(∂V/∂T)_p,ξ}dT+{(∂U/∂P)_t,ξ+P(∂V/∂P)_t,ξ}dP+{(∂U/∂ξ)_t,p+P(∂V/∂ξ)_t,p}dξ...(4) (4)において断熱、定圧であったとすればdQ=0, dP=0です。そして残ったものについて考えます。右辺の第一項はH=U+PVという量を導入して (∂U/∂T)_p,ξ+P(∂V/∂T)_p,ξ=(∂H/∂T)_p,ξ=Cp,ξ...(5) となり定圧比熱になります。右辺第三項を下に示すようにh_t,pと書きます。 (∂U/∂ξ)_t,p+P(∂V/∂ξ)_t,p=(∂H/∂ξ)_t,p=h_t,p...(6) これは定温、定圧での反応熱です。単位反応進行度に対し、系が吸収する熱量(発熱ならマイナス)となっています。結局(4)でdQ=dP=0の時 Cp,ξdT=-h_t,pdξ...(7) になります。反応進行度ξの時、各成分のモル数は、COは1-ξ, O2は2-(1/2)ξ, CO2はξになっています。従ってξの状態での系の熱容量は (1-ξ)C(CO)+(2-(1/2)ξ)C(O2)+ξC(CO2)...(8) でそれぞれのモル比熱が温度に依存する形となります。(8)を(7)にいれて {(1-ξ)C(CO)+(2-(1/2)ξ)C(O2)+ξC(CO2)}dT=-h_t,pdξ...(9) になります。それぞれのCの温度依存性が分かったとしても(9)を解くのは容易でありません。もしそれぞれのCが温度に依存しない定数と仮定してよいのなら、(9)は -dt/h_p,t=dξ/{(1-ξ)C(CO)+(2-(1/2)ξ)C(O2)+ξC(CO2)}...(10) となり、h_p,tも定数であるならば、(10)は変数が分離されて解ける形になっています。 しかし、C(CO)のデータはないですから、最終構成物である1.5 molのO2と1 molのCO2が反応熱により加熱昇温されたとして温度を求めてみます。最終到達温度をTとして 1.5∫C(O2)dT+∫C(CO2)dT=282990...(11) において左辺の積分を298からTまで行い、その値が右辺の282990に一致する温度を求めます。積分は容易で、 1.5[25.5T+13.61x10^-3x(1/2)T^2-42.6x10^-7x(1/3)T^3](298→T)+[26.76T+42.65x10^-3x(1/2)T^2-148x10^-7x(1/3)T^3](298→T)=282990 即ち 7.063x^10^-6T^3-0.03154T^2-65.01T+304977=0...(12) です。この式を解くと実根は一つで、x=4225.3295を得ます。

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