I[n]=∫(tanx)^n dxの積分

質問

I[n]=∫(tanx)^n dxのとき、
I[n]={1/(n-1)}(tanx)^(n-1) -I[n-2]
を証明せよという問題ですが、tanxの処理がわかりません。

回答No.5

alice_44

＞　∫u^n (cos x)^2 du となるだけで、

それは、I[n] = ∫u^n (cos x)^2 du だということですね。
A No.1 に I[n] + I[n-2] を計算せよと書いてあるでしょう？
その上で、(tan x)^2 + 1 = (d/dx)tan x であることを使え
と A No.3 には書きました。
少しはヒントを参考にして、もう一度考えてみましょう。

回答No.4

Mr_Holland

サポートありがとうございます。
　割り込み？など気になさらないでください。
　ですが、どうも教えてくんのようですので降りさせていただきます。
　いつも興味深く回答を拝見しています。これからもよろしくお願いいたします。

補足

わからないから聞いてるのですが。
非常に不愉快な回答ありがとうございます。

回答No.3

alice_44

A No.2 は、要するに、
(tan x)2乗 + 1 = (d/dx)tan x
であることに気づけば、u = tan x で置換積分
したくなるでしょう？ ってことです。
(割り込み失礼。お礼は A No.2 にね。)

補足

uで置換積分してみようとしたのですが、
∫u^n (cos x)^2 du
となるだけで、展開ができないのですが、どこが間違っているのでしょうか。

回答No.2

Mr_Holland

I[n]=∫(tanx)^n dx なのですよね。
　これをANo.1の左辺に入れるとどうなるでしょう。
　簡単に積分ができる（合成関数の積分の）形になるのではありませんか？

回答No.1

Mr_Holland

I[n]+I[n-2]={1/(n-1)}(tanx)^(n-1)(x)　を証明すればいいのでは？

補足

それはわかるのですが、具体的な変形がわかりません。
同様の問題で、∫(cosx)^n dx,∫(logx)^n dx,∫x^n e^(ax) dx
についてはわかったのですが。。。