次の式の展開方法を教えてください。

質問

(T/A)³-41.7(T/A)²=535520　→　T/A=97.75

小さな数字の"3","2"は３乗、２乗を表しています。
よろしく、お願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

これ、展開なんていう簡単なものじゃないですよ。
「三次方程式を解く」です。

やったことがないのですが、計算してみます。

Ｔ／Ａ　＝　ｘ　と置いて、
ｘ^3　－　４１．７ｘ^2　－　５３５５２０　＝　０
これを
ｘ^3　＋　ｂｘ^2　＋　ｃｘ　＋　ｄ　＝　０
に見立てると、
ｂ＝－４１．７、　ｃ＝０、　ｄ＝－５３５５２０

三次方程式の解の公式で得られる３つの解のうち、この場合の実数解は、
ｘ　＝　１／６・［－２ｂ　＋　｛４（－２７ｄ＋９ｂｃ－２ｂ^3＋３√Ｆ）｝^(1/3)　＋　｛４（－２７ｄ＋９ｂｃ－２ｂ^3－３√Ｆ）｝^(1/3)
ただし
Ｆ　＝　３（２７ｄ^2－１８ｂｃｄ＋４ｃ^3＋４ｂ^3ｄ－ｂ^2ｃ^2）

ｃ＝０　なので、
ｘ　＝　１／６・［－２ｂ＋｛４（－２７ｄ－２ｂ^3＋３√Ｆ）｝^(1/3)　＋　｛４（－２７ｄ－２ｂ^3－３√Ｆ）｝^(1/3)
であり
Ｆ　＝　３（２７ｄ^2＋４ｂ^3ｄ）

Ｆにｂ、ｄの値を代入すると、
Ｆ　＝　３×（２７×（－535520）^2　＋　４×（－41.7）^3×（－535520））
　＝　2.3695293 × １０^13

ｘ　＝　１／６×（－２×(-41.7)＋（４×（－２７×(-535520)－２×(-41.7)^3＋３×√(2.3695293×10^13)））^(1/3)　＋　（４×（－２７×(-535520)－２×(-41.7)^3－３×√(2.3695293×10^13)））^(1/3)
　＝　97.7479797

運良く、合いました。

お礼

遅い時間ありとうございました。

回答No.3

178-tall

>(T/A)³-41.7(T/A)²=535520　→　T/A=97.75

T/A = X と置けば、
　X^3 - 41.7X^2 = 535520
…これは既出。

ズボラな数値実験。
　X^2 = 535520/(X - 41.7)
　X = √{535520/(X - 41.7)}　　　…(1)
式 (1) を使い、スプレッドシートで「不動点反復法」を…。

　　 X　　　　√{535520/(X - 41.7)}
　　 --　　　　-----------------
　　 100　　　　　95.84
　　95.84　　　　 99.45
　　99.45　　　　 96.29
　　96.29　　　　 99.04
　　 …　
　　 …

下方にコピーしていき、延々と繰り返させる。
作業はコピーだけ。収束は遅い。
有効 4 桁なら、50 回目くらいでようやく 97.75 に落着。

回答No.2

info22_

(T/A)³ -41.7(T/A)² = 535520 …(1)
100^3で割って
{T/(100A)}^3 -0.417{T/(100A)}^2 -0.535520 = 0　…(2)

T/(100A)=x …(3) とおくと
f(x)=x^3 -0.417x^2 -0.535520 =0
このグラフを描くとxの実数解がx=１の付近に1個だけ存在することが分かります。
したがってこの解を求めるには#1さんの3次方程式の解法（カルダノの公式、参考URL参照）で厳密解が求められますが、数式が複雑になるきらいがあります。
厳密解でなければ高校数学でならうニュートン法により数値解析で必要な有効桁数の数値解が得られます。
ニュートン法
http://pc-physics.com/newtonhou1.html
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/numeanal1/node8.html

初期値x0=1としてニュートン法で解を求めれば
x=0.9774798886222
したがって
x=T/(100A)から
T/A=100x≒97.74798886222

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/三次方程式