熱物理学で分配関数の求め方

質問

n番目の準位のエネルギーEｎと縮重度gnがそれぞれEn=nε、gn=n（n=0,1,2・・・∞)
と記述される系があるときこの系の分配関数を求めよ

この問題なのですが縮重度が無い場合の分配関数は1/{(1-e^(-ε/τ)}であらわせるのですが
縮重度がある場合どうなるかわかりません。
どなたか解説お願いします

回答No.3

drmuraberg · ベストアンサー

まず、縮重度が無い場合の分配関数をおさらいします。

縮重度が無い場合の分配関数Ｚは

Z = Σexp(-En/τ) 　　　　τ= kT　　　　　　　和は０～∞

級数の和を求めます。

Z = Σexp(-En/τ) =Σexp(-nε/τ)　　　　　　　和は０～∞
= 1 +Σexp(-nε/τ)　　　　　　　　　　　　　和は１～∞
= 1 + exp(-ε/τ) *Σexp(-nε/τ)　　　　　　和は０～∞
= 1 + exp(-ε/τ)*Z
よって
縮重度が無い場合の分配関数は1/{1-exp(-ε/τ)}

次いで、縮重度がgnの場合の分配関数Ｚｇ。

Zg =Σgn*exp(-En/τ) =Σn*exp(-nε/τ)　　和は０～∞

和を計算するために、次の式を利用します。

d(exp(-nε/τ)/dε= (-n/τ) exp(-nε/τ)= (-1/τ)*n* exp(-nε/τ)

Zg =Σn*exp(-nε/τ)=(-τ) Σd(exp(-nε/τ)/dε　　和は０～∞
=(-τ) d/dε｛Σexp(-nε/τ)｝　　　　（微分をくくり出せるとして。）
= (-τ) d{(1-exp(-ε/τ))^(-1)} /dε
= (-τ) (-1)(1-exp(-ε/τ))^(-2)*(+1/τ) exp(-ε/τ)
= exp(-ε/τ)/ (1-exp(-ε/τ))^2

あまり馴染みの無い式ですが、どんな系でしたか。

回答No.2

rnakamra

>Σ(n=0)exp(-nε/t)で求めることができるそうです

では、分配関数が上の式のとおりになる理由を説明してください。

回答No.1

rnakamra

>縮重度が無い場合の分配関数は1/{(1-e^(-ε/τ)}

上記の式はどのように得たのでしょうか。その応用に過ぎません。

お礼

Σ(n=0)exp(-nε/t)で求めることができるそうです