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解析力学の問題：斜面と棒のつり合いと安定性
- 解析力学の問題で、斜面と棒のつり合いと安定性に関する問題です。
- 斜面の交わる点Oから測った棒ABの重心Gの高さzをa,α,θを用いて表せます。
- 仮想仕事の原理を利用し、つり合いの状態にあるときのθとαの関係を示すことができます。
- sekihoutai
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(1) ∠AOB = π/2より点OはABを直径とする円周上の点である． したがって GO = a. そうすると△AGOは GA = GO = a の二等辺三角形であるからOGが水平面となす角は 2α + θ. ∴z = OG sin(2α + θ) = a sin(2α + θ). # 添付図参照． (2) 棒に働いている力は重力と，斜面からの反力． このうち，拘束力でないのは重力のみ．したがって仮想仕事は δW = Z δz = -m g a cos(2α + θ) δθ. 仮想仕事の原理より δW -m g a cos(2α + θ) δθ = 0. ∴2α + θ = π/2. (3) δU = -δW = m g a cos(2α + θ) δθ dU/dθ = m g a cos(2α + θ) # 今の場合，1変数なので，偏微分記号ではなく，常微分の記号を使いました． d^2 U/dθ^2 = -m g a sin(2α + θ). d^2 U/dθ^2|_{2α+θ=π/2} = -m g a < 0. つりあいの位置でd^2 U/dθ^2 < 0であるということは，つりあいの位置でポテンシャルUが極大であるということであり，このつりあいは不安定である． ...だと思います．計算間違ってたらすみません．
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- heboiboro
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＞asinθ+2acos(α+θ)cosα これは asinθ+2acos(α+θ)sinα の間違いではないでしょうか。 加法定理を使うと #1の方の asin(θ+2α) と同じであることが分かります。
お礼
おっしゃる通りですね、ありがとうございました
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詳しく説明をしていただきありがとうございました