最大・最小値に関する問題です!!

質問

a,b,cが正の実数で、a+b=1,a3+b3+c3=1を満たすとき、
（1）ｃのとりうる値の範囲
（2）a2+b2+c2の最大値　を求めよ。

解法もできるだけ詳しく教えてくださるとうれしいです！！
よろしくお願いします（>_<）。・.

回答No.2

info22_

(1)
c^3=1-(a^3+b^3)=1-(a+b){(a+b)^2-3ab}=1-1*(1-3ab)=3ab

したがって
　ab=(1/3)c^3, a+b=1
なので a,bは
　(t-a)(t-b)=t^2-(a+b)t+ab=t^2-t+(1/3)c^3=0 …(▲)

なるtの2次方程式の正の2実数解（aとb）なので
判別式D=1-(4/3)c^3≧0
a+b=1>0,ab=(1/3)c^3>0 …(☆)
であることが必要十分条件。
これらからcの条件を求めると
　0<c≦(3/4)^(1/3) …(◆)

(2) (☆)の解と係数の関係から
a^2+b^2+c^2=(a+b)^2-2ab+c^2=1-(2/3)c^3+c^2=f(c)と置く。

(◆)の範囲のcに対して
f'(c)=-2c^2+2c=2c(1-c)>0 (∵(◆)より)
なので(◆)の範囲のcについてf(c)は単調増加関数。
したがって　c=(3/4)^(1/3)のときf(c)は最大値をとる。
f((3/4)^(1/3))=1-(2/3)(3/4)+(3/4)^(2/3)=(1/2)+(1/4)6^(2/3)

∴a^2+b^2+c^2の最大値=(1/2)+(1/4)6^(2/3)
最大値をとるときのa,b,cは a=b=1/2,　c=(3/4)^(1/3)=(1/2)6^(1/3)

【a,bの求め方】
　a,bはc==(1/2)6^(1/3)の時の(1)の(▲)の方程式の解なので
　t^2-t+(1/4)={t-(1/2)}^2=0 から a=b=1/2

回答No.1

gohtraw

(1)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) なので
a^3+b^3+c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3
=1*((a+b)^2-3ab)+c^3
=1-3ab+c^3
=1
よって
c^3=3ab
=3a(1-a)
これでcをaの式で表せたので、0<=a<=1の範囲でのこの式の値を求めて下さい。

(2)
あまりきれいではないので自信ありませんが
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
a^3+b^3+c^3=1,3ab=c^3なので左辺は
1-c^4=(1+c^2)(1+c)(1-c)
,a+b+c=1+c,ab=c^3/3,-bc-ca=-c(a+b)=-c　なので右辺は
(1+c)(a^2+b^2+c^2-c^3/3-c)
よって
(1+c^2)(1+c)(1-c)=(1+c)(a^2+b^2+c^2-c^3/3-c)
(1+c^2)(1-c)=a^2+b^2+c^2-c^3/3-c
a^2+b^2+c^2=(1+c^2)(1-c)+c^3/3+c　・・・（あ）
これでa^2+b^2+c^2がcで表されたので、（１）で求めたcの値の範囲での(あ)の最大値を求めて下さい。