組合せの例題を解く方法
- 組合せの例題では、袋に入れる場合と並べる場合で考え方が異なります。
- 袋に入れる場合は順列として数えるため、順列の公式を用いて計算します。
- 一方、並べる場合は同じ入れ方を区別しないため、組合せの公式を用いて計算します。
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組合せについて易しく説明していただけませんか？
組合せの例題に以下のような物がありました。 （例題） Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ の５個のボールから３個取り出し、袋に入れます。 入れ方は何通りあるでしょうか？ （例題答え） もし、袋に入れるのではなく、１列に並べるなら、その並べ方は、 5Ｐ3 （通り） です。ところが、袋に入れると、順列では区別していた （Ａ，Ｂ，Ｃ）（Ａ，Ｃ，Ｂ）（Ｂ，Ａ，Ｃ）（Ｂ，Ｃ，Ａ）（Ｃ，Ａ，Ｂ）（Ｃ，Ｂ，Ａ） は、同じ入れ方として数えなければなりません。 つまり、5Ｐ3＝６０（通り）のうち、３個のボールの並べ方 ３！＝3Ｐ3＝６ （通り） ずつ、同じ入れ方があると言うことです。よって、それで割って、 ６０÷６＝１０ 答え １０通り この例題の 「つまり、5Ｐ3＝６０（通り）のうち、３個のボールの並べ方 ３！＝3Ｐ3＝６ （通り） ずつ、同じ入れ方があると言うことです。」 の部分が解りません。なぜ３個のボールの並べ方ずつ同じ入れ方があるということになるのか 出来るだけ易しく教えて下さいませんでしょうか。 よろしくお願いいたします。
- jingooo
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- 数学・算数
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質問者が選んだベストアンサー
＞＞＞おそらくsanoriさんのおっしゃる（あ）の方と考えていいと思います。 ＞＞＞ただ、なぜ、（い）の場合の答え６０通りを ＞＞＞３個のボールの並べ方＝６ （通り）で割ることで、 ＞＞＞（あ）の答えになるのかの部分が解らないんです。よろしければ教えて下さい。 はい。 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ という名前を １、２、３、４、５ という名前に変更します。 そして、３桁の数を作ることとします。 小さい順に書くと 123 124 125 132 134 135 142 143 152 153 213 214 215 231 234 235 241 243 245 251 253 254 312 314 315 321 324 325 341 342 345 351 352 354 412 413 415 421 423 425 431 432 435 451 452 453 512 513 514 521 523 524 531 532 534 541 542 543 となりますよね。全部で６０通りあります。 5Ｐ3 ＝ ５×４×３ ＝ ６０（通り） です。 次に、 １２３を使っているものに「あ」、１２４を使っているものに「い」というマークをつけます。 123 あ１ 124 い１ 125 132 あ２ 134 135 142 い２ 143 152 153 213 あ３ 214 い３ 215 231 あ４ 234 235 241 い４ 243 245 251 253 254 312 あ５ 314 315 321 あ６ 324 325 341 342 345 351 352 354 412 い５ 413 415 421 い６ 423 425 431 432 435 451 452 453 512 513 514 521 523 524 531 532 534 541 542 543 というわけで、あ も い も６通りありますよね。 順番を区別しなければ、６通りが１通りになります。 つまり、順番を区別せず、組み合わせとして考えるならば、６分の１になることです。 そして、 あ１～あ６ だけ抜き書きしてみると １２３ １３２ ２１３ ２３１ ３１２ ３２１ ですが、これは、３つのものから３つ全部を選んで並べる順列を１つも残さず網羅的にすべて書き出していることになっていることに気づきませんか？ このように実際書き出してみても６通り（で割る）という結果がでますが、 ３つから３つを選ぶ順列の数 ＝ 3Ｐ3 ＝ ３！ ＝ ３×２×１ ＝ ６（通り） という結果の出し方もありますよね。 い１～い６ も同じことです。やはり、順番を区別しなければ６で割ります。 さらに、あ、い のほかについても同じことです。 ところで、 この問題は、「袋に入れないもの」すなわち「残し方は何通りですか」という考え方に取り替えるほうが簡単です。 残し方 12 か１ 13 き１ 14 15 21 か２ 23 24 25 31 き２ 32 34 35 41 42 43 45 51 52 53 54 全部で２０通り。 か１とか２、き１とき２などを区別する場合は、２０通り。 か１とか２、き１とき２などを区別しない場合は、２０÷２！ ＝ １０通り １０通りです。同じ答えが出ました。
その他の回答 (3)
- hrsmmhr
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組み合わせでは一つづつ入れても、二つと一つ、あるいは三ついっぺんでも袋に入れた結果は同じ結果として一つと数えますので、その入れ方を区別しては数え上げる数が数えすぎになります 例えば＜１，２，３＞のボールを入れる入れ方が入れる順序を考慮すると （１，２，３）、（１，３，２）、（２，１，３）、（２，３，１）、（３，１，２）、（３，２，１） ＜１，２，４＞では （１，２，４）、（１，４，２）、（２，１，４）、（２，４，１）、（４，１，２）、（４，２，１） ＜○，△，□＞では （○，△，□）、（○，□，△）、（△，○，□）、（△，□，○）、（□，○，△）、（□，△，○） どれも3P3の６通りなので全体を６で割れば組み合わせが出ると考えてます
お礼
ありがとうございました。
- yanachu
- ベストアンサー率46% (78/166)
実際やってみたら？ (1)(2)(3)(4)(5) 5個のボールがあるとして、そこから3つ取ると10通り。 (1)(2)(3)、(1)(2)(4)、(1)(2)(5)、(1)(3)(4)、(1)(3)(5)、(1)(4)(5)、(2)(3)(4)、(2)(3)(5)、(2)(4)(5)、(3)(4)(5) たとえば(1)(2)(3)を取ったとして、これを順に並べるならば (1)(2)(3)、(1)(3)(2)、(2)(1)(3)、(2)(3)(1)、(3)(1)(2)、(3)(2)(1) 6通りすべてを区別しなくてはいけないけど 今回は並べるわけでなく袋に一緒に入れちゃうわけだから区別する必要なし。 同じことが(1)(2)(4)、(1)(2)(5)・・・にも言える。 というわけで、5個のボールから3つ選んで並べ方まで区別するやり方は60通りだけど、 袋に入れるんだったら区別しなくていいから 5P3 / 3! で 10通り。
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
こんにちは。 この問題は悪い問題です。 「入れ方は何通りあるでしょうか？」 という書き方では、 （あ）３つつかんで一緒に入れる。 （い）１個目、２個目、３個目、というふうに区別して入れる。 のどちらなのかがわかりません。 （あ）の場合は、１０通りです。 （い）の場合は、６０通りです。
補足
ありがとうございます。 おそらくsanoriさんのおっしゃる（あ）の方と考えていいと思います。 ただ、なぜ、（い）の場合の答え６０通りを３個のボールの並べ方＝６ （通り）で割ることで、（あ）の答えになるのかの部分が解らないんです。よろしければ教えて下さい。
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