y=x^2log(x^2+1)の導関数の求め方

質問

この計算の仕方を教えていただけますか。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

Ｎｏ．１の回答者です。

＞＞＞合成関数以下、さっぱりわからないです。

そうですか。
必要な知識は、対数関数の微分（導関数）、積の微分、合成関数の微分ですが、
それらはすべて、数学IIIまたはIIIＣの教科書に書いてあります。
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（学習指導要領より抜粋）
第4 数学III
2 内容
（2） 微分法
　いろいろな関数についての微分法を理解し，それを用いて関数値の増減やグラフの凹凸などを考察し，微分法の有用性を認識するとともに，具体的な事象の考察に活用できるようにする。
ア 導関数
（ア） 関数の和・差・積・商の導関数
（イ） 合成関数の導関数
（ウ） 三角関数・指数関数・対数関数の導関数
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私からも説明しておきましょうか。

まず、ｙ＝ｆ（ｘ）　をｘで微分することを、
ｙ’とも書きますし、ｆ’（ｘ）とも書きますし、ｄｙ／ｄｘ　とも書きます。
ここで　ｄｙ／ｄｘ　という記号の意味ですが、
ｄは「ちょこっと値が変化する」という意味だと思ってください。
ｘがちょこっと動いたとき、ｙがどれだけちょこっと動くかの割合が　ｄｙ／ｄｘ

たとえば、クルマが１時間（＝ｘ）で４０ｋｍ（＝ｙ）を走るとしたら、単純計算で速度（ｙ／ｘ）は、４０ｋｍ／時　ですよね。
しかし、実際には、４０ｋｍ／時　のまま一定で走っているわけではありません。
ある瞬間、あるいは別の瞬間に、それぞれ瞬間速度というものがあるわけです。
ほんの少しの距離ｄｙをほんの一瞬の時間ｄｘで表すと、
瞬間速度　＝　ｄｙ／ｄｘ
となります。

次に、
対数関数の微分公式の導出はちょっと難しいですが、
ｙ＝logｘ　の微分は　ｙ’＝１／ｘ　です。

合成関数の微分は、こちらで少し勉強するとマスターできます。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/d_comp_func.html

積の微分は、わりと簡単に導出できます。
Ｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）、　Ｇ’（ｘ）＝ｇ（ｘ）
と置くと、
（ＦＧ）’＝　ｆＧ　＋　Ｆｇ
というのが公式です。
＜導出＞
（ＦＧ）’＝　lim[h⇒0]（Ｆ（ｘ＋ｈ）Ｇ（ｘ＋ｈ）－Ｆ（ｘ）Ｇ（ｘ））／ｈ
　＝　lim[h⇒0]（Ｆ（ｘ＋ｈ）Ｇ（ｘ＋ｈ）－Ｆ（ｘ）Ｇ（ｘ）＋Ｆ（ｘ）Ｇ（ｘ＋ｈ）－Ｆ（ｘ）Ｇ（ｘ＋ｈ））／ｈ
　＝　lim[h⇒0]｛（Ｆ（ｘ＋ｈ）－Ｆ（ｘ））Ｇ（ｘ＋ｈ）　＋　Ｆ（ｘ）（Ｇ（ｘ＋ｈ）－Ｇ（ｘ））｝／ｈ
　＝　lim[h⇒0]｛（Ｆ（ｘ＋ｈ）－Ｆ（ｘ））Ｇ（ｘ＋ｈ）｝／ｈ　＋　lim[h⇒0]｛Ｆ（ｘ）（Ｇ（ｘ＋ｈ）－Ｇ（ｘ））｝／ｈ
　＝　Ｆ’（ｘ）Ｇ（ｘ）　＋　Ｆ（ｘ）Ｇ’（ｘ）
　＝　ｆＧ　＋　Ｆｇ

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Ｎｏ．１の回答に間違いがありましたので訂正します。

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ｓ＝log（ｘ^2＋１）
の微分は、合成関数の微分です。
ｚ＝ｘ^2＋１　と置けば、
ｓ’＝　ｄｓ／ｄｘ　＝　ｄｓ／ｄｚ・ｄｚ／ｄｘ　＝　ｄ（logｚ）／ｄｚ・ｄｚ／ｄｘ
　＝　１／ｚ・２ｘ　＝　１／（ｘ^2＋１）・２ｘ
　＝　２／（ｘ^2＋１）★　⇒　２ｘ／（ｘ^2＋１）に訂正

ｔの微分は簡単ですね。
ｔ’＝　２ｘ
です。

ｙ’＝　ｔ’ｓ　＋　ｔｓ’
　＝　２ｘ・log（ｘ^2＋１）　＋　ｘ^2・２／（ｘ^2＋１）★　⇒　２ｘ・log（ｘ^2＋１）　＋　ｘ^2・２ｘ／（ｘ^2＋１）
あとは整理です。
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お礼

大変詳しく説明して下さってありがとうございます。
学習して参ります。

回答No.2

alice_44

式を分解してみる。
y = u v,
u = x^2,
v = log w,
w = u + 1.

それぞれの微分は単純で、
dy/dx = (du/dx) v + u (dv/dx),
du/dx = 2x,
dv/dx = (1/w) (dw/dx),
dw/dx = du/dx.

さあ、代入して整理しよう。

お礼

ご回答ありがとうございました。
dが出て来てからはもうわからないです。

回答No.1

sanori

こんにちは。

ｔ＝ｘ^2
ｓ＝log（ｘ^2＋１）
と置けば、
ｙ＝ｔｓ
ですので、積の微分の考え方を使えますね。

ｙ’＝　ｔ’ｓ　＋　ｔｓ’
です。

ｓ＝log（ｘ^2＋１）
の微分は、合成関数の微分です。
ｚ＝ｘ^2＋１　と置けば、
ｓ’＝　ｄｓ／ｄｘ　＝　ｄｓ／ｄｚ・ｄｚ／ｄｘ　＝　ｄ（logｚ）／ｄｚ・ｄｚ／ｄｘ
　＝　１／ｚ・２ｘ　＝　１／（ｘ^2＋１）・２ｘ
　＝　２／（ｘ^2＋１）

ｔの微分は簡単ですね。
ｔ’＝　２ｘ
です。

ｙ’＝　ｔ’ｓ　＋　ｔｓ’
　＝　２ｘ・log（ｘ^2＋１）　＋　ｘ^2・２／（ｘ^2＋１）
あとは整理です。

お礼

ご回答ありがとうございました。
合成関数以下、さっぱりわからないです。