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数学(数列)の質問です。

等差数列{An}={2,5,8,・・・・}と、等比数列{Bn}={2,-4,8,・・・・}において、両方に含まれる数を順に取り出してできる数列{Cn}の一般項を求めよ。 よろしくお願いします。

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  • 回答No.3
  • Tofu-Yo
  • ベストアンサー率34% (36/105)

これは難問だと思います。少なくとも文系大学2次試験レベルはあると思います。 既に他の方の回答にあるとおり、 (1)具体的な数値によって答えを推定する (2)推定した答えを証明する というプロセスは数学では常套手段です。今回(1)の推定は、Cn=2^(2n-1)と比較的簡単に出せます。 しかし(2)が厄介。示すには、 (a){Cn}の各項が{An}に含まれること (b){Cn}の各項が{Bn}に含まれること (c){Cn}の各項以外の数は{An}{Bn}の少なくともいずれか一方にはに含まれないこと を示す必要があります。(c)は忘れがちですが、要は{Cn}以外に{An}と{Bn}の共通項はない、ということで、厳密には示す必要があります。 これらのうち(b)、(c)は簡単です。 (b)の証明 {Bn}の一般項は、 Bn=2*(-2)^(n-1) です。一方{Cn}の一般項は、 Cn=2^(2n-1) =2^{2(n-1)+1} =2*2^{2(n-1)} =2*4^(n-1) =2*(-2)^{2(n-1)} =2*(-2)^{(2n-1)+1} =B(2n-1) ですので、{Cn}が{Bn}に含まれることがわかります。 (c)の証明 (b)より、{Cn}に含まれない数は、{Bn}に含まれないか、{B(2n)}に含まれる。しかし、{B(2n)}は負値であるから、{An}には含まれ得ない。 (a)の証明 ここが一番厄介。多分(b)のようにきれいにCn=A?とは表せないと思います。そこで、正の整数kが{An}に含まれる条件は、k+1が3の倍数であることを示して(ここでは略)、Cn +1が3の倍数であることを示します。 Cn +1 =2*4^(n-1)+1 ≡2*1^(n-1)+1 =2+1=3≡0 (mod 3) ここで、x≡y (mod3)はxとyそれぞれの3で割った余りが等しいことを表しています。また、最初の≡は、四則演算して?で割った余りと、?で割った余りを四則演算してさらに?で割った余りは等しい(証明略)という性質からです。つまり4と、4を3で割った余りである1を置き換えたのです。 以上からCn +1は3で割った余りが0、つまり3の倍数ということになり、{Cn}の各項が{An}に含まれることが示せました。 なげ~

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 そうか、帰納法でいいのですね! どうやら大分大学経済学部の問題のようです、、、

その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • hrsmmhr
  • ベストアンサー率36% (173/477)

2^n-1=(3-1)^n-1 なのでnが奇数のみでいいと思います

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  • 回答No.2

>>具体化してみて共通項は見つけられたのですが、それは論証する必要はないのでしょうか? もちろん、「共通項がそれであること」を論理的に正しく証明する必要があります。 単なる「推測」だけでは零点です。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 やはり論証は必要ですよね。 しかしなかなか難しいものです。

  • 回答No.1

AnとBnの一般項はだせますね? この手の問題は、AnとBnを第10項程度まで出せばわかるものです。 An=2.5.8.11.14.17.20.23.26.29.32… Bn=2.-4.8.-16.32.-64… この中で共通なのは 2.8.32 これが2^1、2^3、2^5なのに気づけば、もう正確を導けます。 Cn=2^2n-1です。 ちなみに^以降は指数です。 定期テスト勉強中かな?がんばれ!

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質問者からの補足

回答ありがとうございます。 具体化してみて共通項は見つけられたのですが、それは論証する必要はないのでしょうか?

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