数学（数列）の質問です。

質問

等差数列{Ａｎ}＝{2,5,8,・・・・}と、等比数列{Ｂｎ}＝{2,-4,8,・・・・}において、両方に含まれる数を順に取り出してできる数列{Ｃｎ}の一般項を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.3

Tofu-Yo · ベストアンサー

これは難問だと思います。少なくとも文系大学２次試験レベルはあると思います。

既に他の方の回答にあるとおり、

（１）具体的な数値によって答えを推定する
（２）推定した答えを証明する

というプロセスは数学では常套手段です。今回（１）の推定は、Ｃn=2^(2n-1)と比較的簡単に出せます。

しかし（２）が厄介。示すには、
（ａ）{Ｃn}の各項が{Ａn}に含まれること
（ｂ）{Ｃn}の各項が{Ｂn}に含まれること
（ｃ）{Ｃn}の各項以外の数は{Ａn}{Ｂn}の少なくともいずれか一方にはに含まれないこと

を示す必要があります。（ｃ）は忘れがちですが、要は{Ｃn}以外に{Ａn}と{Ｂn}の共通項はない、ということで、厳密には示す必要があります。

これらのうち（ｂ）、（ｃ）は簡単です。

（ｂ）の証明
{Ｂn}の一般項は、
Ｂn=2*(-2)^(n-1)
です。一方{Ｃn}の一般項は、
Ｃn=2^(2n-1)
=2^{2(n-1)+1}
=2*2^{2(n-1)}
=2*4^(n-1)
=2*(-2)^{2(n-1)}
=2*(-2)^{(2n-1)+1}
=Ｂ(2n-1)
ですので、{Ｃn}が{Ｂn}に含まれることがわかります。

（ｃ）の証明
（ｂ）より、{Ｃn}に含まれない数は、{Ｂn}に含まれないか、{Ｂ(2n)}に含まれる。しかし、{Ｂ(2n)}は負値であるから、{Ａn}には含まれ得ない。

（ａ）の証明
ここが一番厄介。多分（ｂ）のようにきれいにＣn=Ａ?とは表せないと思います。そこで、正の整数kが{Ａn}に含まれる条件は、k+1が3の倍数であることを示して（ここでは略）、Ｃn +1が3の倍数であることを示します。

Ｃn +1
=2*4^(n-1)+1
≡2*1^(n-1)+1
=2+1=3≡0 (mod 3)

ここで、x≡y (mod3)はxとyそれぞれの3で割った余りが等しいことを表しています。また、最初の≡は、四則演算して?で割った余りと、?で割った余りを四則演算してさらに?で割った余りは等しい(証明略)という性質からです。つまり4と、4を3で割った余りである1を置き換えたのです。

以上からＣn +1は3で割った余りが0、つまり3の倍数ということになり、{Ｃn}の各項が{Ａn}に含まれることが示せました。

なげ～

お礼

回答ありがとうございます。

そうか、帰納法でいいのですね！

どうやら大分大学経済学部の問題のようです、、、

回答No.4

hrsmmhr

2＾n-1=(3-1)＾n-1
なのでnが奇数のみでいいと思います

回答No.2

springside

>>具体化してみて共通項は見つけられたのですが、それは論証する必要はないのでしょうか？

もちろん、「共通項がそれであること」を論理的に正しく証明する必要があります。

単なる「推測」だけでは零点です。

お礼

回答ありがとうございます。
やはり論証は必要ですよね。

しかしなかなか難しいものです。

回答No.1

renemag

ＡnとＢnの一般項はだせますね？

この手の問題は、ＡnとＢnを第10項程度まで出せばわかるものです。
Ａn=2.5.8.11.14.17.20.23.26.29.32…
Ｂn=2.-4.8.-16.32.-64…

この中で共通なのは
2.8.32

これが2^1、2^3、2^5なのに気づけば、もう正確を導けます。

Ｃn=2^2n-1です。

ちなみに^以降は指数です。

定期テスト勉強中かな？がんばれ！

補足

回答ありがとうございます。

具体化してみて共通項は見つけられたのですが、それは論証する必要はないのでしょうか？