この計算は何か公式使ってるんでしょうか？

質問

確率統計の参考書を読んでいて積分の計算でわからないところがあります。
指数分布（連続型）の計算です。
確率密度f(x)= λe^(-λx) (0=<xの時)、f(x)= ０（x<0の時）
ｘが-∞から∞のとき、f(x)= ０（x<0の時）なのでxが０から∞の時を考える。
∫f(x)dx = ∫λe^(-λx)

上の式より、
a→∞の時、０からaまで積分するとすると、
lim∫λe^(-λx)dx =lim[e^(-λx)]

lim∫λe^(-λx)dx =lim[e^(-λx)] ここの変形がわかりません。
普通に積分するなら、lim∫λe^(-λx)dx =lim[（λ/(-λx＋１)）e^(-λx＋１)]
となるような気がしているのですが・・・。

回答No.2

井口 豊（@Iguchi_Y） · ベストアンサー

まず，質問者の積分が間違っています。
e^(-λx＋１)
ならば，微分すると
-λe^(-λx＋１)
です。

これは，
e^(ｘ)
を考えてください。

微分しても
e^(ｘ)
であり，
（　）内は変わりません。

それで回答１で言うように，
∫λe^(-λx)dx 　＝　[-e^(-λx)]
と（－）が付くのが正解です。

これを微分すると
[-e^(-λx)]’＝-(-λ)(e^(-λx))
= λ(e^(-λx))
だからです。

-λは前に出ますが，eの(-λx)の部分は変わりません。

0から∞を考えると
[-e^(-λx)]
は∞で0，0で（－１）です。

したがって
lim [-e^(-λx)] = 0-(-1)
= 1
となり確率分布であることが証明されるのです。

お礼

回答ありがとうございます。
よくわかりました。
eの微分のところが勉強不足だったようです。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#133363

公式というか、被積分関数λe^(-λx)が-e^(-λx)の導関数であることを使うはずです。
その[e^(-λx)] の意味が分からないけど、[g(x)]=g(a)-g(0)の意味だとするとほんとは[-e^(-λx)]のように思う。

お礼

回答ありがとうございます。
おっしゃるとおり、lim∫λe^(-λx)dx =lim[e^(-λx)]ではなくて、
lim∫λe^(-λx)dx =lim[e^(-λx)] でした。すみません。