とても難しい(ややこしい)4次不等式

質問

不等式
1/(x^4-6x^2+a) > 1/(x^2-6x+a)
を解け．ただし，a は実数．
(答)
(ア) a≦-27のとき
3-√(9-a)<x<-3 , -√(3+√(9-a))<x<0 , 1<x<2 , √(3+√(9-a))<x<3+√(9-a)
(イ) -27＜a≦0のとき
-3<x<-√(3+√(9-a)) , 3-√(9-a)<x<0 , 1<x<2 , √(3+√(9-a))<x<3+√(9-a)
(ウ) 0＜a≦5のとき
-3<x<-√(3+√(9-a)) , -3-√(9-a)<x<0 , 3-√(9-a)<x<√(3-√(9-a)) , 1<x<2 , √(3+√(9-a))<x<3+√(9-a)
(エ) 5＜a≦8のとき
-3<x<-√(3+√(9-a)) , -√(3-√(9-a))<x<0 ,1<x<√(3-√(9-a)) , √(3-√(9-a))<x<2 , √(3+√(9-a))<x<3+√(9-a)
(オ) 8＜a≦9のとき
-3<x<-√(3+√(9-a)) , -√(3-√(9-a))<x<0 ,1<x<√(3-√(9-a)) , √(3+√(9-a))<x<2 , √(3-√(9-a))<x<3+√(9-a)
(カ）9＜aのとき
-3<x<0 , 1<x<2

どうか解き方を教えてください。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

グラフを描いてみました。

4次関数：y＝ (x^2- 3)^2と放物線：y＝ (x- 3)^2の交点がポイントです。
y軸の下方向へ平行移動させていきますが、
グラフの交点が y＝ 0となるところまでずらすところが場合分けの区間になっています。

お礼

ありがとうございます。

分かりやすくイメージできました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

確かに、一見するとどこから手を着ければ・・・な感じですね。
逆に、そんな形だからこそ考えられる部分もあったりしますね。

両辺とも分数の形になっているので、分母を払ってしまいたいところです。
しかし不等式なので、分母の符号によって不等号の向きが変わってしまう可能性があります。
まずは、その場合を調べるために、それぞれの分母で平方完成をしてみます。
すると、
1/{ (x^2-3)^2+ a- 9 }＞ 1/{ (x-3)^2+ a- 9 }

と同じようなきれいな形に変形されます。

一番簡単な場合分けは、a＞ 9ということになります。（ともに正になる場合）

また、分母の大小関係は、a- 9が共通なので、(x^2-3)^2と (x-3)^2の関係だけで見ることができます。
（これらのグラフを描いてみてください。実際の分母は、そのグラフを y軸の下方向に |a- 9|だけ平行移動させていくことになります。）

あとは、aの値を小さくしていく過程で、
分母の値が負になるときがどのようなときかを考えていくことで場合分けが導けると思います。

お礼

ありがとうございます。

方針がわかりました。