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外サイクロイドの証明です
半径aの円を固定、外周を半径bの円が転がって出来る曲線が外サイクロイドであることを証明。 証明の手順としてまず、 半径aの円C1:c1(t)=(acos(t),asin(t)) 半径bの円C2:c2(t)=(bcos(t),bsin(t)) とおいたのですが、証明の条件で c1(t0)=c2(t0) かつ c'1(t0)=c'2(t0) (t0は任意の点) また、 ||c'1(t)||=1,||c'2||=1 (弧長によるパラメータ表示) となることを確認しなければいけないのですが、 どのようにすればいいのか分かりませんでした。 証明自体は手順に添ってやれば、できるそうなので考えようと思いますが、 スタートでつまづいてしまったので、どうにもなりませんでした。 よろしければ、回答・ヒント等いただけるとありがたいです。 よろしくおねがいします。
- xakarix
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何を証明しようというのかがよく分かりません。 というのも、冒頭の「～が転がって出来る曲線」は外サイクロイドの定義そのものだと思うからです。 まず目標を明確にすべきだろうと思います。 外サイクロイドのパラメータ表示を導き出したいとか、こんな性質を証明したいとか。 読んでの感想としては、c1(t)とc2(t)はいずれも原点を中心とする円のパラメータ表示だなあ、ということです。 もしC1を原点を中心とする円として、C2をC1の周りを転がる円として定義するつもりなら、C2の中心が原点ではなくしかもパラメータに依存することを、c2(t)の式に入れねばなりません。
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補足
回答ありがとうございます。 質問が曖昧で申し訳ありませんでした。 最終的には、 半径aの円と半径bの円から外サイクロイドのパラメータ表示を導き出したいのです。 読んでみて、c2のパラメータ表示を見直さなくてはいけないようですね… c2を今一度考え直してみます。