東大の問題です

質問

(1)の微分が解けないので誰か分かる方は解き方を教えてください

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

Σの中を一度 a(θ, n)（θと nの関数である）とでも置いてみると、
f(θ)
＝ Σ a(θ, n)
＝ a(θ, 1)+ a(θ, 2)+ a(θ, 3)+ ・・・

となります。
これを θで微分しなさいということですから
f '(θ)
＝ a '(θ, 1)+ a '(θ, 2)+ a '(θ, 3)+ ・・・
＝ （これをΣの形に表す）

ということになります。

単純に、「Σと微分の順番を入れ替えれば」とも言うことができますね。
ただし、いつもこのようなことが言えるわけではないのであしからず。

お礼

回答ありがとうございます。
がんばってみます

回答No.4

alice_44

編入試験というのが、どういうものかは知りませんが、
大学初年度程度の解析学を学んでいることが前提であれば、
No.2 を読んで、どういう答案を書くべきか解るはずです。
結果的には、No.1 さんが書いているように
各項を微分するだけで、その作業は高校生でもできますが、
項別微分してよい理由を書いておかなければ、０点
または限りなく０点に近い部分点となるでしょう。きっと。

お礼

やはり理由が必要なのですね…
回答ありがとうございます

回答No.3

kabaokaba

No.2さんに同意．

結果的には冪級数だからNo.1さんのでOKなんだけど
それはきちんと知っていて処理しないとダメ．
むやみに項別微分・項別積分・極限の交換をしていいのは
（いわゆる発見的手法とか実験・観測で保障されるという担保がある）
物理や工学だけ．

で，大学入試問題だと仮定した場合
東大の先生に限らず，普通の大学の先生が
こんな「穴」に気がつかないわけがなく，
何か手があるのか考えたけど
この級数は
(1/√2)(sin(x)+cos(x))
=sin(x+π/4)
だろうなくらいしかわからんかった(^-^;;;
（マクロリン展開の式からほとんど自明）
一晩しか考えてないけど
高校の範囲ではどうにもならないと思う．

これが大学院の院試問題だとすると・・・簡単すぎる．
点とらせ問題にしかみえないし，
わさわざ誘導つける意味もないように思うので
院試じゃないでしょう．

残りは，教養の教科書の練習問題．
季節的にも一月たってるから（震災の影響で多少すくないかもしれないけど）
εδを後回しにすれば（工学系ならありうるでしょう）
級数くらいやっててもおかしくないし，
画像のなかの書体は明らかにTeXのものだから
（Computer ModernにリュウミンL）教科書だろうな．

ちがうかな．
＃なお，sin(x+π/4)だとすれば問題そのものの解答はできたと思う

補足

東大編入問題です。
きちんと書いておくべきでしたね。
すみません。

回答No.2

alice_44

これ、本当に東大の問題ですか？
(1) は、明らかに高校範囲では処理できない内容を含んでいます。
東大の出題委員は、そんなに不用意ではないように思うのですが…

級数を微分するときに、項別に微分したモノの級数と考えてよいのは、
もとの級数が「一様収束」という収束のしかたをする場合だけです。
質問の級数は冪級数であり、冪級数は収束円内では一様収束するから、
θ で項別に微分することができます。
…って、以上の説明が理解できましたか？ 高校生では、習いませんが。

「東大の問題です」というのが、東大入試の過去問ということではなく、
東大生の宿題、もしくは、東大の院験過去問ということであれば、
こんな場所でそんなものを質問している時点で、貴方の将来は
相当ヤバイです。大丈夫ですか？

補足

東大編入問題です。
きちんと書いておくべきでしたね。
すみません。
過去問の問題集をやってるんですがむずかしくて…