- ベストアンサー
数学についてに質問です
ｖはR＾ｎの部分空間であるとして (1)dim(v)=rとする。a1,・・・arが一次独立ならばa1・・・・,,arはｖを生成することを示せ。 したがって、このときa1,・・・,arはvの基底をなす。 (2)v1,,vs∈ｖが一次独立とする。必要ならばいくつかのベクトルu1,・・・,ur∈ｖを追加してv1,・・・,vs,u1,・・・,urがｖの基底になるようにできることを用いてv1,・・・,vs∈ｖが一次独立ならばs<_dim(v)であることを示せ よくわかりません ちからをお貸しください
- kurosituzi03
- お礼率13% (13/100)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1) 次元の定義と基底の定義を確認すれば、証明はほぼ自明。 それが解ると、 「したがって、このときa1,…,arはvの基底をなす。」では 話の順番がオカシイことにも気づくはず。 (2) 「…ことを用いて」の部分を証明せずに使ってよいなら、 証明せねばならない部分は、ほとんど何も残っていない。
関連するQ&A
- 線形の証明問題を教えてください
線形代数の証明問題を教えてください １、m×n行列全体のつくるベクトルの空間Vにおいて、（i.j)成分が１で他の成分がすべて０であるm×n行列をEijとすると、 Eij(i=1,2・・・、m ;j=1,2・・・n)はVの基底である事を示せ。 ２、Vを有限次元ベクトル空間、U、WをVの部分空間とするとき dim(U+W)+dim(U∩W)=dimU+dimW であることを示せ。 （dim(U∩W)=r ,dimU=s ,dimW=tとする。a1,・・・,arをU∩Wの基底とし、これを拡張して得られるUの基底を a1,・・・,ar, b1・・・,bs-r, Wの基底をa1,・・・,ar ,c1・・・,ct-rとする。 a1,・・・,ar, b1・・・,bs-r, c1・・・,ct-r がU+Wの基底になることを示す。） この２問がどうしても証明できません。どちらでもいいので分かる方解答をお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 基底 一次独立 についての質問
R^3の空間において、v1,v2∈R v1=（1,0,0），v2=(0,1,0)は一次独立だがR^3の基底では無い。 なぜ、このベクトルv1，v2は一次独立となるのでしょうか？ 基底とならないことは理解できます。 正方行列でなければ、行列式が作れないはずなのに・・・ 2つのベクトルを行列の形に並べると（行列のカッコは表記上つけられませんでした・・） 10 01 00 となり、階段行列よりrank=2なので 10 01 の行列について考えれば良いという事でしょうか？これなら、一次独立であることは理解できます。 また、R^2の空間においては、 10 01 00 は、基底となりうるのでしょうか？ R^2の場合、3行まであるような表記はしない？ ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学についてしつもんです
ｆ：R＾n→R^mを線型写像とする。a1・・・・aｒ∈R^nに対し、f(a1),・・・・ｆ（ar）∈R^mが一次独立ならばa1,・・・・ar∈R^nが一次独立であることを示せ の問題なのですがさっぱりわかりません 助けてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線型空間 基底の証明
U, V, U @ V 線型空間 f : U × V → U @ V 双線型写像 (U @ V, f) U と V のテンソル積 f(u, v) = u @ v dim U = m, 基底 {u_1, u_2, ..., u_m} dim V = n, 基底 {v_1, v_2, ..., v_n} S = {u_i @ v_j | 1 ≦ i ≦ m, 1 ≦ j ≦ n} 基底を証明したい <S> = U @ V は f(u, v) を計算して証明できたのですが S が線型独立の証明を教えてください r_11(u_1 @ v_1) + ... + r_mn(u_m @ v_n) = 0 とおいたまま立ち往生です
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形空間は必ず基底を持つ（有限次元）
先日某所で、明らかに有限次元のベクトル空間に関すると思える話に出会い、 「線形空間は必ず基底を持つ！（{0}は除く）」 とやってしまいました。その時、 「持つためには、選択公理が必要」 という指摘を頂いて、「有限次元では（選択公理不要）」と加えたのですが「これって本当にそうなのか？」とふと思い、質問しています。以下、有限次元に限定します。 (1)今までは・・・ 今までは、こう思って来ました。「次元の等しい線形空間は、みな同型」という事から、要は数ベクトル空間について、基底を持つかもたないか、調べれば良いはずだと。 ｎ次の（ｎ次元とは言いませんの）数ベクトル全体をＶをすれば、Ｖには 自然な生成系、 Ｂ＝{(δi1)，(δi2)，・・・，(δin)}（δijは、クロネッカーのデルタ） があり、Ｂが生成系である事はすぐわかり、(δij)らが互いに独立である事もすぐわかり、さらに任意のｖ∈ＶがＢのベクトルに従属なのもすぐわかるから、ｎ次の数ベクトル全体Ｖは、長さがｎの基底を持ちｎ次元で、有限次元線形空間は、選択公理抜きで必ず基底を持つと。 (2)定義に戻ってみると・・・ ところが基底の定義は、 「Ｖから取り出せる、独立なベクトルの集合で、最大本数を持つもの」 となると思います。ここでは有限次元に限定しているので、最大本数と書きました。 この定義に忠実に従って基底の有無を調べるとしたら、Ｖの部分集合全てを調べなければならない気がします。このような操作のためには、やっぱり選択公理が必要でないのか？、と突然気づきました。有限次元であっても、Ｖに含まれるベクトルは、無数にあるので・・・。 (1)と(2)は、本質的に同じでなければならないと思います。そうすると(1)においても、どこかで選択公理のお世話になっているんでしょうか？。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学の数学（ベクトル）
命題：r個のベクトル （a1）ベクトル,(a2)ベクトル ,・・・, (ar)ベクトル∈n次元実ベクトル が一次独立 ⇔どの(aj)ベクトルも他のｒ－１個のベクトルの一次結合ではない これを証明する方法を教えてください。明日までにやっていかなくと行けなくて、困っています。誰かお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 正規直交基底の存在性
計量ベクトル空間の正規直交基底の存在性についてです． 証明の手順は以下のようにやろうと考えています． 計量ベクトル空間V，dimV=n ⇒線形独立な集合Aが存在する(1) ⇒Vの基底E:={ei}(i=1,2,...n)が存在する(2) （Aにいくつかベクトルを足すことで構成する） ⇒Vに正規直交系E':={ei'}}(i=1,2,...n)が存在する(3) （Eにシュミットの直交化法を施す） ⇒E'はVの基底である(4) ⇒E'はVの正規直交基底である(5) (1)⇒(2)⇒(3)は示せるのですが， (3)⇒(4)が示せません． どなたか，アドバイスなどよろしくお願いいたします．
- 締切済み
- 数学・算数
- 階数と退化次数の命題（松坂さんの『線形代数入門』）
松坂さんの『線形代数入門』p104の定理3.19からの抜粋です。 Ｖ，Ｗをベクトル空間として、Vは有限次元であるとする。そのとき、線形写像F:V→Wの像をW'、核をV'とすれば、 dimW'+dimV'=dimV が成り立つというものがあります。 この証明の流れを軽くかくと、 dimV(=n)、dimV'(=s)の次数を決める。すると、V'はVの部分空間なのでdimV'の基底を拡張したものがdimVの基底になる。 その拡張した基底(r個追加して拡張したことにする)のＦによる像がdimW'の基底となることを示す。 するとs+r=nとなり定理が証明できたことになる。 この証明の中で、拡張したもの像がW'を生成すること、１次独立であることを示したらそれが基底であることが言えるわけですが、１次独立であることをしめしている箇所がわかりません。 １次独立の定義は、一次結合が０になるのは、その実数係数がすべて０の時に限るということだったはずですが、この証明においては、実数係数がすべて０であるということは述べていますが、その時に限るということは言えていない気がします。 どなたかお答えいただけると幸いです。
- 締切済み
- 数学・算数
