図形

質問

縦の長さが８、横の長さが７の長方形の中に、
５個の合同な正方形が図のように詰め込まれているとき、
正方形の１辺の長さを求めよ。

図のように、正方形の１辺をx
図で左上に直角三角形があるが直角をつくる辺の短い方をa
長い方をbとして、相似を使って式を作っていきました。
３本できましたが、ここからxを求めれません。
よろしくお願いします。
(1)x^2=a^2+b^2
(2)a=14-3b
(3)2a^2+6b^2+14a-ab-16b=0
の３本の式から、xを求めるのに挫折しました。

回答No.8

staratras · ベストアンサー

この問題は一見複雑そうですが、
図の下部の両すみの凹5角形の形が同じ（合同である）
ことに気がつけば、簡単な三平方の定理の問題です。
（ご質問の図に書き加えさせていただきました。）

長辺が3x、短辺がxの長方形の対角線の長さは
√((3x)^2+x^2)=（√10)x です。
三角形ABCはACが斜辺の直角三角形で、
AC=(√１０)x,AB=7,BC=1なので
((√10)x)^2=7^2+1^2
　　　10x^2=50
　　　x^2=5　より　x=√5

回答No.9

staratras

No.8です。少し補足します。
図の下の両すみの二つの凹5角形は合同ですが、xを求めるにはその一部の三角形同士が合同であることがわかればよいので以下にそれを示します。

以下の図のように、点Aから点Fまでを定めます。
△AECにおいて
AE=EC=√((2x)^2+x^2)=(√5)x
AC=(√10)x=√2(√5)X
したがって△AECは辺の比が1:1:√2の直角2等辺三角形であり
∠AEC=90°

△ADEと△EFCにおいて
∠ADE=∠EFC=90°…（１）
AE=EC　…（２）
∠DEA=180°-∠AEC-∠CEF=90°-∠CEF
∠FCE=180°-∠EFC-∠CEF=90°-∠CEF
よって　∠DEA=∠FCE　…（３）
（１）（２）（３）(直角三角形の合同条件）より
△ADE≡△EFC
したがってAD=EF,DE=FC

回答No.7

alice_44

他の回答を拝見しましたが、それと比べても、
質問文中の解法は、簡潔で説得力があると思います。
最近の学生が、気合や根性を極端に嫌うことは、
概ね理解しているつもりですが、それでもやはり、
二次方程式すら忌避していたのでは解決できない
問題が多いことも事実です。
スマートな解法を心掛けることと、最低限の手間を
惜しむことは違います。「二次方程式くらい解け」。

お礼

回答ありがとうございます
数学的なセンスがあるとはいえない私にとっては
「力技で、問題を解く」という気持ちで、問題に
むかえというメッセイジは心強いです。
　ただ、それだけだと問題を解くのに挫折することが
多くなってきます。あることに気づかないと行き詰まってしまう
ことが多い最近です。

回答No.6

momordica

座標平面上で考えてみました。

図のような1辺の長さが1の正方形を組み合わせてできる青の図形を考え、
それを原点中心にr倍に拡大、角θだけ回転移動して、さらに(p, q)だけ
平行移動して赤の図形に移すことを考えます。
この変換により、青い図形上の点(x, y)が赤い図形上の点(x', y')に移るとすると、
　x'=rxcosθ-rysinθ+p,　　y'=rxsinθ+rycosθ+q
さらに、rcosθ=s, rsinθ=t と置くと、
　x'=sx-ty+p,　　y'=tx+sy+q,
よって図中の4点A, B, C, Dは、この変換によりそれぞれ以下の点に移ります。
　A(0, 1)→A'(-t+p, s+q)
　B(2, 0)→B'(2s+p, 2t+q)
　C(3, 2)→C'(3s-2t+p, 3t+2s+q)
　D(0, 3)→D'(-3t+p, 3s+q)
4点A', B', C', D'は、それぞれ直線 x=0, y=0, x=7, y=8 の上にあるので、
　-t+p=0
　2t+p=0
　3s-2t+p=7
　3s+q=8
この4元1次連立方程式を解いて、
　s=2, t=-1, p=-1, q=2
ここで、問題の赤の正方形は、青の正方形をr倍に拡大したものであることより
1辺の長さはrなので、
　r=√(s^2+t^2)=√5

回答No.5

naniwacchi

こんばんわ。

「切れ端」みたいなところに注目してみると、見やすい解法が出てきます。
で、添付の図のような直角三角形に注目すると（黄色と青色の三角形はすべて合同です）、
直角をはさむ 2辺の長さについての連立方程式が得られます。
その連立方程式は、#3さんのものと見事に同じです。

求めたい長さは、その直角三角形の斜辺の長さとなるので、
ピタゴラスの定理から求められます。

回答No.4

nag0720

＃２です。

ミスが・・

η=∠AHF
↓
η=∠AHE

回答No.3

spring135

長さ2x,a,bで作る直角3角形の直角の角をC,Cから右にaの点をA,Cから下にbの点をBとして直角3角形ABCを定義します。
角ABCをΘとします。
5つの正方形で構成される図形の頂点などに説明のため名前を付けます。ABの中点をD、ABから右に一列ずれた辺を4つの頂点をE,F,G,H、さらに一列ずれた辺をI,J,K、さらに一列ずれた辺をL,Mとします。
AB並行EFGH並行IJK並行LMでKは外側の長方形の下の辺上に、Lは右側の辺上にあります。
そとがわの8×7の長方形の頂点をCから反時計回りにN,O,Pとし、長方形CNOPを定義します。
点EからCPに平行に引いた直線と、点HからCNに引いた直線の交点をR,AからERに下した垂線の足をQとする。RHを延長してNOとの交点をSとする。
BからNOに平行に引いた直線とMからOPに平行に引いた直線の交点をT、LからTMに下した垂線の足をUとする。

垂直方向に
8=AQ+RH+HS=xsinΘ+3xcosΘ+xsinΘ
水平方向に
7＝BT+UL=3xcosΘ+xsinΘ

p=xcosΘ,q=cosΘとおくと

sp+2q=8
3p+q=7

これより
q=1
p=2

すなわち
xcosΘ=2 (1)
xsinΘ=1　(2)
(1)と(2)を自乗してくわえると
cosΘ＾2+sinΘ＾2＝1より
ｘ＾2＝5
ｘ＝√5

お礼

回答ありがとうございます
補助線の引き方がごちゃごちゃしているようで
割と考えやすい補助線だとおもいました
考え方もすっきりしているとおもいました

回答No.2

nag0720

三角関数を使った別解を

大きい長方形の左上の頂点をA、他の頂点を左回りにB,C,Dとし、
辺AB,BC,CD,DAと正方形が接する点をE,F,G,Hとします。

正方形の１辺をxとすれば、
EG=√10x
FH=√13x
sin(∠GEB)=7/(√10x)
sin(∠HFB)=8/(√13x)

θ=∠AEH
η=∠AHF
α=∠GEB-η
β=∠HFB-θ
とすれば、
θ+η=90°
sinα=1/√10
cosα=3/√10
sinβ=3/√13
cosβ=2/√13

以上から、
sin(∠GEB)=sin(α+η)=sinαcosη+cosαsinη=(1/√10)sinθ+(3/√10)cosθ=7/(√10x)
sin(∠HFB)=sin(β+θ)=sinβcosθ+cosβsinθ=(3/√13)cosθ+(2/√13)sinθ=8/(√13x)

整理して、
sinθ+3cosθ=7/x
2sinθ+3cosθ=8/x

これを解けば、x=√5 となります。

お礼

回答ありがとうございます
α=∠GEB-η　の角がどこからでてくるのか、
角度の関係がごちゃごちゃしているところです
何を計算すればいいのか、頭を整理します

回答No.1

alice_44

(2) を (3) へ代入すれば、二次方程式になります。
(2) と併せて、a,b の値が決まりますね。
あとは、(1) から x を求めてオシマイ。
気合の問題ですよ。

お礼

回答ありがとうございます
気合いを必要とする解答になるということは、
間違ってはいなくても考え方が良くないと思いました。
もし、計算があってたとして計算の仕方に工夫が必要だとか、
関係式を作るとき、図形でもっと簡単なところが使えるとか、
・・・
正方形を４個つけて、３×３の正方形をつくって、そのとき、
はみ出す３個の合同な直角三角形について、3辺がa,b,2xの長さの
直角三角形との相似からいろいろ考えました。
この考え方が、あまりよくないのかと思ってもいます。