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二次方程式の解の問題
Umadaの回答
- Umada
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この種の問題で、左辺をxの関数と見てf(x)と置くのは常套手段ですね。 f(x)は当然2次関数になりますから、放物線を描きます。 その放物線をx-y平面上でいろいろ動かしてみてください。どのような時に題意を満たすでしょうか。 題意の方程式が区間1 < x <2に解をただ一つ持つということは、f(x)と直線y=0とがその区間でただ一点で交わる、ということですよね。 既にご理解頂けている点ではありますが、一応書き下すと題意を満たす関数の形状は A. f(1) > 0かつ f(2) < 0 B. その逆の f(1) < 0かつ f(2) > 0 C. 解が重根、かつ区間1 < x <2の範囲にある の3つがあり得ます。 実は放物線の軸が区間に対してどこにあるか悩む必要はなく、上記のAとBの条件で簡単に処理できてしまうんですよ。区間の両端で関数の正負が入れ替わるということは、少なくともその区間で1回x軸と交わる、ということですので*。 またA, Bの場合はその条件だけでx軸と交わることが保証されますから、判別式を別個に検討する必要はないのです。持ち出すのはCの場合のみです。 それぞれについて解いてみます。 (1) 2a+1 > 0 かつ 3a+4 < 0 →両方を満たすaは存在しない (2) 2a+1 < 0 かつ 3a+4 > 0 →両方を満たすのは -3/4 < a < -1/2 (3) 判別式a^2-4a = 0 →重根となるためにはa=4, 0が必要だが、いずれの解も区間1 < x <2に入らないので題意を満たさない ということになります。 考え方は間違えていないと思いますが計算を間違えているかも知れませんので、念のためチェックの上ご利用下さい。 *厳密に議論するならば、A, Bの条件だけでは(一般の連続関数に対し)「その区間で少なくとも1回x軸と交わる」ということしか保証されませんが(=複数あるかも知れない)、2次方程式はたかだか2つの解しかありませんのでこれだけで「その区間に解は一つだけ」として解答してよいでしょう。
- noname#1499
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