指数の計算

質問

４^k-１
=(４－１)(４^k-１＋４^k-2＋…＋４＋１)
これがよくわかりません。
この式の計算の過程を教えてほしいです。

ちなみに半角の字は指数を表しています。ｋは自然数です。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

ANo.1ですが、追記です。
私の回答文にある「x^n」はすべて「xのn乗」です。
なので回答文中の「x^n - 1」は「xのn乗 - 1」を意味します。
「xのn-1乗」のようなものに関しては、
指数部分を丸かっこで覆って「x^(n-1)」と表記しています。

お礼

理解できました。
ありがとうございました。

回答No.1

R_Earl

x^n - 1が
x^n - 1 = (x - 1){x^(n-1) + x^(n-2) + … + x + 1}
と因数分解できる事は知ってますか？
この因数分解の方法を使って
4^k - 1を因数分解すると質問文に書いてある式になります。

ちなみにx^n - 1の因数分解方法ですが、
これは因数定理を利用するとできます。
x^n - 1はx = 1で0となるので、
x^n - 1は因数x - 1を持つことになります。
後は整式の筆算を使ってx^n - 1をx - 1を割ってみてください。
そうすると商がx^(n-1) + x^(n-2) + … + x + 1、余りは0となるはずです。