整数問題

質問

xは整数で、pは素数のとき、x^2=p^5+p^2+1を満たす
xとpは存在しないことをしめせ。

　a^2<p^5+p^2+1<(a+1)^2 となるaが存在することを示せばいいと
考えましたが、このあとがわかりません。素数の条件がどこで利くのかも
想像が付きません。よろしくアドバイスお願いします。

回答No.14

noname#130496 · ベストアンサー

#10お礼のあなたの方針で行けそうですね。
もうやったかもしれないけど。
シンプルでいいと思います。

(1) 4n(n+1)=p^2(p^3+1)

で次のどちらか：
(2) n=ap^2 (aは整数)
(3) n=bp^2 (bは整数)

(1)の場合、(1)に代入してaについて解き、
a=(-1±√(p^3+2))/(2p^2)。
変形して
x=2n+1=2ap^2+1=±√(p^2+2)。
（この形に持って行くのはaについて解かなくてもできるか。）
両辺2乗して仮定の等式のx^2に代入し、矛盾を導く。
(3)も同様。

(2)(3)に場合分け出来ることの証明は大丈夫ですか?

お礼

何度も回答ありがとうございます
確かめていただきありがとうございます
(2)(3)の場合分けというのは、・・・・

回答No.19

muturajcp

#13です。
p=3(mod4)
p=4(mod5)だから
p=19(mod20)
p≧19
と考えてみましたが結局
#5の方の回答でよいと思います。
#5の方の考え方に基づいて質問者の方の
「
x=2n+1として
4n(n+1)=p^2(p^3+1)、pが素数だから考えられるのは、次の２つで
(1)n=a*p^2,(a<p)
(2)n+1=b*p^2,(b<p)
これについて、整数aとbが存在しないことを導く方法
」について考えます。

xは整数で,pは素数で
x^2=p^5+p^2+1となる
↓1<2√pだから
(p^2√p)^2=p^5<x^2<p^5+2p^2√p+1=(p^2√p+1)^2
↓[p^2√p]をp^2√pの整数部分とするとpは素数でp^2√pは整数とならないから
[p^2√p]<p^2√p<x<p^2√p+1
↓
[p^2√p]<x≦[p^2√p+1]=[p^2√p]+1
↓xは整数だから
x=[p^2√p]+1

x=2n+1とすると
2n=[p^2√p]
2n<p^2√p

4n(n+1)=p^2(p^3+1)

(1)n=ap^2のとき
4ap^2(ap^2+1)=p^2(p^3+1)
4a(ap^2+1)=p^3+1
4a^2p^2+4a=p^3+1
4a-1=p^2(p-4a^2)≧p^2

2n<p^2√p
2ap^2<p^2√p
2a<√p
4<pだから→2<√p
4a<2√p<(√p)^2=p
p^2≦4a-1<p
p<1
となって矛盾する

(2)n+1=bp^2のとき
4(bp^2-1)bp^2=p^2(p^3+1)
4(bp^2-1)b=p^3+1
4b^2p^2-4b=p^3+1
4b+1=p^2(4b^2-p)≧p^2

2n<p^2√p
2(bp^2-1)<p^2√p
2bp^2<(p^2√p)+2
2b<√p+(2/p^2)
9<pだから→3<√p
→(√p-3)(√p+1)=p-2√p-3>0
→2√p+3<p
4b+1<2√p+(4/p^2)+1<2√p+3<p
p^2≦4b+1<p
p<1
となって矛盾する

回答No.18

noname#149523

#17です。
p≡4だったから
x≡0 or x≡3
これは導けませんでした。先の回答を取り消します。混乱させてすみません。

回答No.17

noname#149523

整数yが5の倍数でないなら、y^4≡1 (mod 5)
(フェルマーの小定理などを知ってるとなおよい)

以下特に断らない場合、5を法として考える。
pは5の倍数でない(と少し考えれば分かる)から、p^4≡1
ここからp^2,p,p^5,p^5+p^2+1を5で割った余りを場合分けして考えると
p^5+p^2+1≡1 or 2 or 3
p^5+p^2+1≡x^2≡0 or 1 or 4

以上から p^5+p^2+1≡x^2≡1
そのとき p≡4
x≡1 or x≡4

p(p^4+p)=(x-1)(x+1)
x≡1(mod p) or x≡-1(mod p)
(「abが素数pで割り切れるならaかbはpで割り切れる」を使った)
p≡4だったから
x≡0 or x≡3
これはx≡1 or x≡4と矛盾する

お礼

回答ありがとうございます
あっさりと証明できているようなので少しあっけにとられていますが
じっくりと考えたいとおもいます
５の倍数の余りで考えるのですか・・・

回答No.16

noname#130496

もう一つ誤記入。
x=...=±√(p^3+2)。

回答No.15

noname#130496

誤記入。
(3) n+1=bp^2

回答No.13

muturajcp

#11です。#11のp≠4(mod5)は誤りでした。#11の回答を取り消します。
x=0(mod4)→x^2=0(mod4)
x=1(mod4)→x^2=1(mod4)
x=2(mod4)→x^2=0(mod4)
x=3(mod4)→x^2=1(mod4)
p=1(mod4)のとき
x^2=1^5+1^2+1=3(mod4),x^2≠3(mod4)だからxは整数でない
→p=3(mod4)
x=0(mod5)→x^2=0(mod5)
x=1(mod5)→x^2=1(mod5)
x=2(mod5)→x^2=4(mod5)
x=3(mod5)→x^2=4(mod5)
x=4(mod5)→x^2=1(mod5)
だからx^2≠3(mod5),x^2≠2(mod5)
pは奇素数だから
p=0(mod5)のときp=5→x^2=3151,x=56.1…だからxは整数でない
p=1(mod5)のとき
x^2=1^5+1^2+1=3(mod5),x^2≠3(mod5)だからxは整数でない
p=2(mod5)のとき
x^2=2^5+2^2+1=2(mod5),x^2≠2(mod5)だからxは整数でない
p=3(mod5)のとき
x^2=3^5+3^2+1=3(mod5),x^2≠3(mod5)だからxは整数でない
→p=4(mod5)
後は考え中です。

回答No.12

noname#130496

#10お礼へ

#10間違いだらけです…。
誤答の連続でごめんなさい。

>x=2n+1とすると
4n(n+1)=p^2(p^3+1)
p素数だから
(1)n=a*p^2,(a<p)
(2)n+1=b*p^2,(b<p)

n=a*p^2かn+1=b*p^2であるとは言えそうですね。
それぞれでa<p、b<pとできるかどうかは、私は分かりません。

回答No.11

muturajcp

p=2のとき
x^2=2^5+2^2+1=37→x=√37=6.08…
→xは整数でない
→p≠2
→p=1(mod2)は奇素数となる
→x^2=1^5+1^2+1=1(mod2)は奇数となる
x=0(mod5)→x^2=0(mod5)
x=1(mod5)→x^2=1(mod5)
x≠2(mod5)
x=3(mod5)→x^2=4(mod5),x^2≠4(mod5)→x≠3(mod5)
x≠4(mod5)
だからx^2≠3(mod5)
pは奇素数だからp≠2(mod5),p≠4(mod5)
p=0(mod5)のときp=5となるから
x^2=5^5+5^2+1=3151,x=56.1…だからxは整数でない
p=1(mod5)のとき
x^2=1^5+1^2+1=3(mod5),x^2≠3(mod5)だからxは整数でない
p=3(mod5)のとき
x^2=3^5+3^2+1=3(mod5),x^2≠3(mod5)だからxは整数でない
∴
xは整数で、pは素数のとき、x^2=p^5+p^2+1を満たす
xとpは存在しない

お礼

回答ありがとうございます
xを５で割った余りで場合分けして考えれば
いいのかと思いました。その方針で考えたいと思います。
８行目までは、理解できましたが、
９行目のx≠2(mod5)が、どうしてそういえるのか分かりませんでした。
教えてもらえればと思いました。

自分でも他の回答を参考にいろいろ考えたのですが、x=2n+1として
4n(n+1)=p^2(p^3+1)、pが素数だから考えられるのは、次の２つで
(1)n=a*p^2,(a<p)
(2)n+1=b*p^2,(b<p)
これについて、整数aとbが存在しないことを導く方法を考えました。
この考え方に何かアドバイスがあれば幸いです。

補足

追伸
あと、他にも自分には難しいところがいくつかあるのですが
１２行目のpは奇素数だからp≠2(mod5),p≠4(mod5)がどうしてかな
と考えています

回答No.10

noname#130496

#9お礼へ

場合分け(1)(2)は、自分でもおかしいと思います。
忘れてください。

m=1が成り立たなければならないことはもっと簡単に示せそうです。

k^2p^2+2kpm+m^2=p^2(p^3+1)+1
だから、左辺をpで割った商がp(p^3+1)、余りが1です。
k^2p^2+2kpmはpで割り切れます。
一方、mはpを因数として持たないので、m^2はpで割り切れません。
よって、m^2=1であり、（m≧0より）m=1。

でいい気がしますが、勘違いかもしれないので、確認してください。

m=1なら
k^2p^2+2kpm=k^2p^2+2kp=p^2(p^3+1)
ですね。

次に、場合分け(4)(5)について。
繰り返しになりますが、右辺がkで割り切れる場合を2つに分けたのです。
(1) pがkで割り切れる
(2) p^3+1がkで割り切れる
のどちらかしかありません。
その他の場合は、この2つのどちらかに含まれていると思います。

お礼

回答ありがとうございます
回答を参考にさせてもらい、自分なりに場合分けを次の２つにできるのでないかと
思いました。
x=2n+1とすると
4n(n+1)=p^2(p^3+1)
p素数だから
(1)n=a*p^2,(a<p)
(2)n+1=b*p^2,(b<p)

回答にある場合分けと何か似ているような気もしますが・・・

回答No.9

noname#130496

今さらですが、#4のようにxをpで割る事から考えてみました。

そんなxとpがあったとする。
xをpで割った商をk、余りをm (0≦m<p)とする。

x^2=k^2p^2+2kpm+m^2=p^2(p^3+1)+1。

よってm>0、また、2kpm+m^2がp^2で割り切れない。
m^2はもちろんp^2で割り切れない。
よって、
(1) m=1、k^2p^2+2kp=p^2(p^3+1)
(2) 2kpm+m^2=1
のどちらか。

(2)が成り立つとすると、
m(2kp+m)=1
だからm=1かつ2kp=0。
よってk=0、x=1、これは矛盾。

よって(1)が成り立つ。

(1)より
(3) k(kp+2)=p(p^3+1)。

右辺がkで割り切れることを考えると、pは素数なので
(4) p=k
(5) p^3+1=tk (tは整数)
のどちらか。

(4)が成り立つとすると(3)の左辺が奇数、右辺が偶数で矛盾（p>2は既に分かってると思う）。
(5)が成り立つとすると(3)より
2=p(t-k)。
これはp>2と矛盾。

お礼

回答ありがとうございます
いくつかわからないところがあり、補足していただければ幸いです
(1) m=1、k^2p^2+2kp=p^2(p^3+1)
(2) 2kpm+m^2=1
のどちらか。で、(1)がよくわからなかった
(4) p=k
(5) p^3+1=tk (tは整数)
のどちらか。で、(4)(5)以外にもp+1=tkとなる場合があるのでないかと思いました。
まだ、あるとおもいます