並進運動から回転運動になるときの運動エネルギー

質問

【物理】並進運動から回転運動になるときの運動エネルギーはどこにいくのですか？

質量（ｍ）が均一の剛体の長さ2rの棒が、ある初速V0で回転しないで飛んできているときに、ばね（荷重F、ストロークS）で受け止めるとします。以下の2ケースを考えたときに、ちょっと混乱してきたため、アドバイスお願いできますでしょうか。

i）棒の重心を受け止めるとき
F=ma より a=F/m で棒は回転せずに減速していき、ばねが 1/2xmxVo^2=FxS
を吸収すれば棒はとまります。

ii）棒の下端を受け止めるとき
並進運動：i）と同じ
回転運動：棒はFr=Iθ** （*：一回微分）よりθ**=Fr/I で回転をする。
よってばねが、棒の初期運動エネルギーを吸収したときに、棒はぐるぐる回転をしている状態だと考えています。

これがちょっと間違っている気がするのですが、正しいとすると
i）では、ばねが棒の初期運動エネルギーを吸収して、回転せずにとまって
ii）では、ばねが棒の初期運動エネルギーを吸収して、並進運動はとまりますが
回転をしている状態になり、ii）では運動エネルギーが増えているように感じてしまいます。
これはおかしいですよね？どなたかアドバイスお願いします。

回答No.6

foomufoomu

>私が考えているばね・・・反発はしないとだけ条件をおいて
反発しないものは、バネとは言いません。ダンパーといいます。
前に書いたように、摩擦体または粘性体でできています。エネルギーは熱に変換されるので、運動をあらわすエネルギー（以下、運動系エネルギーと表現します）は保存されません。

>特にどんなFS特性でもかまいません。
ここの S は変形のことですか？　でしたら、
純粋なバネの場合は、かならずFS特性は直線です。この場合に限り運動系エネルギーが保存されます。
それ以外の場合は、かならず運動系エネルギーの熱への変換が起き、運動系エネルギーが減少します。
純粋な粘性ダンパーの場合は、FS特性では表現できません。F=CV（C：粘性係数、V：速度）で表します。
純粋な摩擦ダンパーの場合は、F=一定（ただしV≠0の場合)になります。

>通常このようなケースは、並進運動と回転運動にわけて
>運動方程式をたてるとおもうのですが、
運動方程式を立てる場合は、並進と回転に分けてはいけません。
力、速度、移動距離、モーメント、角速度、回転角、の6つのベクトル（相互に関連しているので独立変数ではない）を考えて方程式を立てます。
回転を含む運動を考える場合は、単純にXYZ方向の力の釣り合いだけを考えたのではいけません。力×距離（＝モーメント）によって、単純な力が回転力に変換されることを考慮しなければなりません。
よって
>並進運動の運動方程式は・・・それは正しいでしょうか？
根本的に正しくありません。

>ii）のケースはある荷重を加え続ければ、棒の並進運動はとまるので
前にも書きましたが、荷重を加えるという話は聞いていませんが、
もし、棒の一方の端に力を加えるのであれば、前に書いた特殊な条件以外では、そうとう大きな力をかけないと、止める事はできません。

お礼

回答ありがとうございます。

根本的に考えが違っていたのですね・・。

以前、同じような質量均一の棒を傾けて地面に落とす例題があり、それでは並進と回転運動をわけて記述してありましたのでこのような考えをしました。もう一度見直してみます。

回答No.5

foomufoomu

もうひとつ、棒の並進運動が０になる状態がありました。（しかし、これは、質問の条件とは違います。）

棒の中心がバネにぶつかった場合は、反対方向に跳ね返る。
棒の一端がバネにぶつかった場合は、回転しながら、ややゆっくり同じ方向に進む。
ということなら、その間のどこかの位置がバネにぶつかった場合は棒の並進運動は０になります。
たぶん棒の端から1/3のところになると思います（あてずっぽうなので、あまり信用しないでください）

お礼

何度も回答ありがとうございます。非常に助かります。

質問をしながら自分がどこに疑問をもっているのかがわかってきました・・。
通常このようなケースは、並進運動と回転運動にわけて運動方程式をたてるとおもうのですが、並進運動の運動方程式は、i）もii）も同じF＝maと考えているのですが、それは正しいでしょうか？
もし正しいのであれば、ii）のケースはi）と同様にある荷重を加え続ければ、棒の並進運動はとまるので、何度も棒の運動はとまりますよね？と聞いていました。ここに何か漏れているのものがある気がします。

また本回答欄にある並進運動が０になるケースは、ばねの反発がないケースでおこるのでしょうか？

何度も何度もすみません。アドバイスよろしくお願いします。

回答No.4

foomufoomu

>ii)の場合、いくら長いストロークで適切な荷重を加え続けても
長いストロークで適切な荷重を加え続け？　何のことですか？　そんな条件は聞いていませんよ。

＞慣性モーメントが非常に大きい場合や
前の回答に書いた
# かりに、棒の質量が棒の両端のみに集中している・・・と考えて・・・
# ・・・反発力100%のバネにぶつかったとすると・・・
# ・・・棒の並進運動が止まるのは、この条件の場合だけです。
にあるように、「質量が棒の両端のみに集中」というのが、棒の慣性モーメントが最大になる状態(現実にはありえない)で、かつ「反発力100%のバネにぶつかった」(これも現実にはありえない) というのが、唯一の条件です。

補足

私が考えているばねの特性についてですが、特にどんなFS特性でもかまいません。但し、反発はしないとだけ条件をおいてください。最初に明記せずすみません。

回答No.3

foomufoomu

>ばねが縮みきったところまでしか現象をみないとすると（反発はない）、
反発はないという条件にしたいなら、バネでなく、摩擦体や粘性体（粘りの強い油など）とすればよいです。この場合はエネルギーは熱になって吸収されます。

＞ii）のケースも同様で、ばねが縮みきったところでは、回転運動のみになりますよね？
なりません。なぜ、ぶつかったら必ず止まると考えるのでしょうか？
たとえば、自動車事故で、正面から壁にぶつかれば止まりますが、片側のふちを電柱に引っ掛けただけなら、はげしくスピンして、そのまま前に進むのは想像できるはずです。（自動車レースのアニメで、よく出てくる場面ですね）

かりに、棒の質量が棒の両端のみに集中している（鉄アレイのような）と考えてみれば、一端の質点はぶつかって止まりますが、他端の質点はそのままの速度で運動を続けます。
もし、この条件で、反発力100%のバネにぶつかったとすると、ぶつかった側の質点は最初と反対方向に同じ速度で跳ね返るので、ぶつからなかった側の質点と釣りあって、棒全体の速度は０になります。棒の並進運動が止まるのは、この条件の場合だけです。

逆に全質量が棒の中心に集中しているとすると、ぶつかったとき棒は回転するものの、慣性モーメントはゼロなので、回転のエネルギーはなく、棒は最初の速度、方向のまま並進運動を続けます。

普通、棒といった場合は質量が全体に分布しているので、この2つのケースのあいだの状態になる。ということです。
エネルギーと運動量を連立して解けば、回転と、並進の速度を計算できると思いますが、かなりめんどうな計算になりそうなのでパスします。

お礼

回答ありがとうございます。だいぶ理解できたきがします。
ii)の場合、いくら長いストロークで適切な荷重を加え続けてもばねの反発なしでは並進運動をすべて回転運動に変えることはできないということですね？慣性モーメントが非常に大きい場合や加える荷重特性がよくても、並進運動はとめることができないのでしょうか？
質問ばかりですみませんが、ここがすこしすっきりしないのです。

回答No.2

foomufoomu

＞お答えの内容は、私が説明した現象であっているということでよろしいのでしょうか？
i)、ii)とも違っているということです。

＞ii）のケースでは、並進運動はとめれたけど、すべて回転運動に代わってしまったという理解でいいのでしょうか？
並進運動はとまりません。前よりは少なく（遅く）なりますが、（質問の条件では）止まることはありません。

ｉ）のケースでも並進運動は止まりません。止まってしまったらエネルギー保存則に反することになります。

お礼

お返事ありがとうございます。

ばねとすると運動はとまりませんね。
ばねが縮みきったところまでしか現象をみないとすると（反発はない）、そのばね相当部分でエネルギー吸収して棒はとまりますよね？
ii）のケースも同様で、ばねが縮みきったところでは、回転運動のみになりますよね？

この理解でよろしいのでしょうか？

たびたびすみません。

回答No.1

foomufoomu

＞i）棒の重心を受け止めるとき
バネのポテンシャルエネルギー　E=1/2*K*X^2 (Xはバネの変形量、Kはバネ係数)
が最初の運動エネルギーと等しくなったところまでバネが変形します。その後バネは元に戻って、棒は反対方向に、最初と同じ速度で飛んでいきます。

＞ii）棒の下端を受け止めるとき
おそらく、最初の運動エネルギーは、衝突後の運動エネルギー と 回転のエネルギー E=1/2*I*ω^2 (Iは慣性モーメント、ωは角速度）に分解されると思います。

お礼

回答ありがとうございます。

お答えの内容は、私が説明した現象であっているということでよろしいのでしょうか？
ii）のケースでは、並進運動はとめれたけど、すべて回転運動に代わってしまったという理解でいいのでしょうか？