解答をおしえてください

質問

タイトルどうりです

この問題の（２）からすべての解答方法がわからないです

詳しく書いてもらえませんか

この問題集は塾の授業でやっているんですがいま事情があり塾に通うことができず先生に質問することが出来ません

また答えはついているのですが解法はついておらず証明関係はだいぶ答えに省略があります

そこでここに質問しました

よろしくおねがいします

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
P(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)
(1)
P(x)=ax^3-a(α+β+γ)x^2+a(αβ+βγ+αγ)x-aαβγ
b=-a(α+β+γ)
c=a(αβ+βγ+αγ)
d=-aαβγ
αβγ=-d/a
α+β+γ=-b/a
1/α+1/β+1/γ=(αβ+βγ+αγ)/αβγ=-c/d
(2)
α~=αの共役な複素数
αとβを任意の複素数
α=x+yi
β=u+vi
とすると
α~β~=(x-yi)(u-vi)=xu-yv-(xv+yu)i
(αβ)~={xu-yv+(xv+yu)i}~=xu-yv-(xv+yu)i
任意の複素数αとβに対して
α~β~=(αβ)~
となるから任意の自然数nと任意の複素数αに対して
(α~)^n=(α^n)~
となる
また任意の複素数αとβに対して
α~+β~=(α+β)~
a~=a,b~=b,c~=c,d~=d
だから
P(α~)=a(α~)^3+b(α~)^2+c(α~)+d
=a(α^3)~+b(α^2)~+(cα)~+d
=(aα^3)~+(bα^2)~+(cα)~+d
=(aα^3+bα^2+cα+d)~
=0
∴α~もP(x)=0の解となる
(3)
1,2,3
P(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1),α=0,β=1,γ=-1のとき実根数は
3
P(x)=x^3+x=x(x-i)(x+i),α=0,β=i,γ=-iのとき実根数は
1
P(x)=x^3-x^2=x^2(x-1),α=β=0,γ=1のとき実根数は
2
αを実数でない複素数根とすると
α~も実数でない複素数根となり
α~=β.or.α~=γとなるから
α~=βとすると
b=-a(α+β+γ)=-a(α+α~+γ)
γ=(-b/a)-α+α~
∴γは実数となるから
少なくとも1つは実根となるから
実根数が0となる可能性は無い
(4)
0,1,2
P(x)=x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3,α=β=γ=-1のとき正実根数は
0
P(x)=x^3-2x^2-x+2=(x-1)(x-2)(x+1),α=1,β=2,γ=-1のとき正実根数は
2
P(x)=x^3+x^2-x+1=(x-1)^2(x+1),α=β=1,γ=-1のとき正実根数は
1
α,βを正実根とすると
α>0,β>0
ad>0だから
αβγ=-d/a<0
γ<0
γは負実根となるから
正実根数は2以下となり
正実根数が3となる可能性は無い

お礼

ありがとうございます

しっかりと理解できました