外部電場について

質問

図
　　■■■■■■■■電極（Vボルト）
　　○○○○○○○○材料１（誘電率X、厚さAmm）
　　□□□□□□□□材料２（誘電率Y、厚さBmm）
　　□□□□□□□□
　　■■■■■■■■電極（GND）　　　　　電極間距離：A＋Bmm

例えば図のように、２枚の電極間に異なる材質のものが挟んであり、
電極にVボルトの電圧がかかっている時、材料１および２に印加されている
外部電場と言うのは、どのような数式で表されるのでしょうか。
電極間距離のみを考慮して、どちらも E = V/(A + B) (V/mm)でよいのでしょうか？？

また、外部電場と内部電場の違いについてもあいまいですので
教えていただけたら幸いです。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

heboiboro · ベストアンサー

＞ここでは外部電場と内部電場の和として電場が求められておりますが、
＞この２つを分けて考えることはできないのでしょうか。
全電場を求めることなく誘電分極による電場を求めるには、分極電荷の大きさを考えればよいと思います。

誘電率がεである媒質では D=εE、両辺の発散をとって(誘電率は一定として) divD=εdivE
真電荷密度をρ、分極電荷密度をρ_Pとして divD=ρ、divE=(ρ+ρ_P)/ε0
これを上式に代入して整理すると ρ_P=-(1-ε0/ε)ρ
つまり誘電率εの誘電体とは、真電荷の(1-ε0/ε) 倍の大きさで反対符号の分極電荷が発生する物質だということです。

今の場合には電荷量と電場が比例しますので、#1で求めた外部電場 E_out=XYV/ε0/(AY+BX) を、例えば材料1上ですと -(1-ε0/X) 倍して、 E1=-(1-ε0/X)XYV/ε0/(AY+BX)=-(X/ε0-1)YV/(AY+BX) となります。

回答No.3

heboiboro

すいませんよく考えたら#2の前半におかしいところがありました(εEの発散について境界部分ではεが不連続な変化をしているのでその寄与を考えなければならない、等)。この計算は今回のケース(平行平板コンデンサ)でたまたま上手くいっただけみたいです。
なので前半部分について撤回させていただきます。すみません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

私は数学にやや疎いので、divなどについては良くわからないのですが、
ここで求められたのはそれぞれの誘電体内部の電場のことでしょうか。

外部電場についてはどうでしょうか。
誘電体の両面にかかる電位差を厚さで割ればそれが外部電場と言えますか？

回答No.1

heboiboro

電極に面密度±σの電荷があるとします。
Q=CV, C=εS/d (εは誘電率), σ=Q/S, また直列につないだコンデンサの全体の静電容量は個々の調和平均C=C1C2/(C1+C2) となりますから、
σ=CV/S=(X/A・Y/B)V/(X/A+Y/B)=XYV/(XB+YA)
よってこの±σの作る電場E_outはE_out=XYV/ε0/(XB+YA) となります。
ちなみに電場の大きさ（外部電場と内部電場？の和）は材料1上ではYV/(XB+YA), 材料2上ではXV/(XB+YA)となりますから、これから上で求めた外部電場（この場合は極板上の電荷が作る電場）を引くことで分極電荷の作る電場の大きさが分かります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

ご丁寧な回答に感謝します。
誘電率も式中にはいるのですね。

ここでは外部電場と内部電場の和として電場が求められておりますが、
この２つを分けて考えることはできないのでしょうか。

折り返しの質問失礼しますが、
よろしくお願いします。