- ベストアンサー
不定積分
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
三角関数を利用する置換積分なら、 x=(√2）/cos(t) などと置けば、 x^2-2=(2/(cos(t))^2)-2 =2(tan(t))^2 となりますので、一応何とかなるはずです。 tの範囲や絶対値の扱いなどには注意してください。 あとは、 x+√(x^2-2)=t と置いて置換積分するという手もあります。 なんでそんな置き方をするのかと聞かれても、うまくいくから仕方ないというところです。
その他の回答 (3)
- WiredLogic
- ベストアンサー率61% (409/661)
#1さん、#2さん、#3さんが、既に回答されていることを、高校生向きに、まとめて説明すると… 書くのが面倒なので、元の問題を、∫√(x^2 - 1)dx で考えます √の中身が(x^2 - a^2) (a＞0) のときなら、置換のとき、a倍すれば、OK これは、x = tの式、の置換で、x^2 - 1 = t^2 となるようにできると、先が簡単ですね。 で、高校の範囲で考えると、候補は２つ。 一つは、#1さんのように、(tan(t))^2 + 1 = 1/{cos(t)}^2、を使うもの。 x = 1/cos(t) と置換すると、x^2 - 1 = 1/{cos(t)}^2 - 1 = {tan(t)}^2、 dx/dt = sin(t)/{cos(t)}^2、なので、一応、先へ進めます。ただ、その先で悩む可能性も。 (補足で、これでいけそうと書いていた奴ですね。できましたか？) 大学数学だと、1/cosθ = secθ (読みは、セカント・日本語では正割) という高校で習わない三角関数の新種^^があって(参考書によっては、書いているものも)、微分の公式も、(tanθ)' = secθ などと書いてあります。 もう一つは、#2さん、#3さんの回答のように、c(t) = {e^t + e^(-t)}/2, s(t) = {e^t - e^(^t)}/2、を使うもの。 x = c(t) とおくと、x^2 - 1 = {c(t)}^2 - 1 = {s(t)}^2、dx/dt = {c(t)}' = s(t)、 なので、先へ進めて、この先の計算も、こっちの方が楽なので、本命だと思います。 ちなみに、この、c(t),s(t) は、大学では、双曲線関数と呼ばれるもので、 c(t) = cosh(t) (コサイン・ハイパボリック・t のように読みます。次も同様)、 s(t) = sinh(t)、#1さん、"2さんが、紹介していたのがこれですね。 書き方が似ているだけでなく、三角関数と似た性質が色々あり、三角関数で成り立つ公式がこっちではどうなるか、一度、色々計算してみると、勉強になります。入試でも、旧帝など、難関大学では、これらを意識した問題は、結構よく出ています。やっとくと、お得かも。
お礼
回答ありがとうございます x=√2/cosθとおいてやるのは、 ∫1/cosθdθの積分が出てきて、 この形は簡単そうで、混乱することがある形で ちょっと自信がありませんが、・・・。 ∫1/cosθdθ=log{(1+sinθ)/cosθ}となりました。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
I=∫√(x^2-2）dx=x√(x^2-2）-∫x^2/√（x^2-2）dx I1=∫x^2/√（x^2-2）dx=∫(x^2-2+2)/√（x^2-2）dx =∫√（x^2-2）dx +2∫1/√（x^2-2）dx I=x√(x^2-2）-I1=x√(x^2-2)-I-2∫1/√(x^2-2）dx 右辺のIを左辺に移項 2I=x√(x^2-2)-2∫1/√(x^2-2）dx I=(x/2)√(x^2-2)-∫1/√(x^2-2）dx =(x/2)√(x^2-2)-I3 I3=∫1/√(x^2-2）dx=log|x+√(x^2-2)|+C=cosh^-1(x/√2) +C この積分I3は積分公式にあります。 参考URL http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/sekibun/iroirona-kansuu-no-sekibun.html の■その他の中の最後の公式です。 t=x+√(x^2-2) または x=(√2)cosh(t) という変数変換をすれば積分できます。 ここで、cosh(t)は双曲線関数です。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
大学まで行けば x = √2 cosh t とおく筋があるんですけどね＞#1.
お礼
回答ありがとうございます x = √2 cosh tはx=(√2）/cos(t)のことだとしたら なんとかなりそうな予感がします
関連するQ&A
- 不定積分できる！
質問サイトなのにタイトルが肯定文なところに惹かれて来てくだっさたあなたに質問です。 私は基本的な不定積分（高校くらいまでで∧難しすぎないもの）ならできるつもりです。 しかし、三角関数の不定積分がよくわかりません。 たとえば、次の関数の不定積分を求めよ。(xは省略) ア) tan/cos , イ) cos^4 , ウ) 1/sin , エ) (tan/cos)^2 , オ) tan^4 , カ) 1/cos^4 きっとどうせ、置換積分法か部分積分法か式変形の組合せで解くのだと思いますが、三角関数の不定積分は紛らわしいです。 問題の式をちょっと見ただけですぐに解法が思いつくにはどうすればいいのでしょうか。 （別にアからカの答えを聞いているわけではありません。一応なんとか解けます）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分の問題
不定積分の問題ですが、部分積分法で解く問題ですが、考えても解答通りにならないので、ここで質問するに至りました。途中計算等を教えてください。お手数になりますが、どうか宜しくお願いします。 (1)∫x sec^(2)(x) dx 私が解くと、xtanx- sec^(2) + c になります。 (2)∫Tan^(-1)(x)dx (3)∫Sin^(-1) (x/3)dx (4)∫e^(-2x) sin3x dx ↑部分積分法を繰り返してもとめるのですが、どのような切り口で求めるのかが分かりませんでした。 答え (1) x tan(x) + log | cos(x) | + C (2) xTan^(-1) (x) - (1/2)log{x^(2) +1} + C (3) xSin^(-1) (x/3) + √(9-x^(2)) + C (4) {-e^(-2x)/13 } (2sin3x + 3cos3x ) + C
- ベストアンサー
- 数学・算数
- tan の部分積分
いつもお世話になっています。 tan x の積分をしたくて、新しく覚えた部分積分というのを使ってみると ∫tan x dx = ∫(sin x)/(cos x) dx = ∫(-cos x)' (1/cos x) dx = (-cos x)(1/cos x) - ∫(-cos x) (sin x/cos^2 x) dx = -1 + ∫tan x dx と、おかしなことになりました。 部分積分の公式の元に戻って (fg)' = f'g + fg' と考えると f(x) = -cos x g(x) = 1/cos x となって、左辺が定数の微分になるので (-1)' = tan x - tan x だからあってます。 定数を f(x), g(x) に分解したあたりが怪しいような気がするのですが、 最初にやった部分積分の式で何をどうしたのがいけなかったのかが説明できません。 いったい何がだめだったのでしょうか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分∫√[x(x+1)] dx の問題についておしえてください。
教えていただきたいのは以下の問題です。 ∫√[x(x+1)] dx を適当な初等関数を用いた変数変換で有理関数の積分に帰着させよ (積分は実行しなくてもよい) √(x(x+1)) = √(x^2+x) = (1/2)*√[{2(x+(1/2))}^2-1] 2(x+(1/2)) = 1/Cos[x] とおくと dx = {(2x+1)^2/2}*Sin[θ] dθ ∴∫√[x(x+1)] dx = ∫(1/2)√[(1/Cos^2[θ])-1]*{(2x+1)^2/2}*Sin[θ] dθ = ∫(1/4)*Tan[θ]*Sin[θ]/Cos^2[θ] dθ =… でいいのでしょうか? また、積分を実行するとしたらどうすればいいのか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分
こんばんわ。私は今大学一年生で、今学期「解析概要」という授業をとっています。 そこでの不定積分の問題なんですが、分からないものがあったのでよかったら教えてください！ (1)∫arcsin(x) dx (2)∫x^2/√(a^2-x^2) dx (1)はarcsin(x)=yとしてx=sin(y)で置換して積分したら、arcsin(x)sin(arcsin(x))+cos(arcsin(x)) と出したんですが、解答はxarcsin(x)+√(1-x^2)となっていました。どうすればこういう答えになるのでしょう？ (2)は部分積分で挑戦しましたが出来ませんでした。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の置換積分
sin(x),cos(x)の有理関数の不定積分を求める方法で、多くの微積のテキストでは、t=tan(x/2)として、置換積分する方法が紹介されています。 ですが、私にはちょっとこの方法は論理的に少し強引に感じられます。 テキストによると、上の置換で、sin(x)=2t/(1+t^2), cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2) dt/dx=(1+t^2)/2と表され、tの有理関数の不定積分に帰着させることが 必ずできると紹介されています。 ですが、t=tan(x/2)とおいてsin(x)などをtで表すということは、tan(x/2)が定義されているような x については可能ですが、例えば、x=πではsin(x)はtでは表されないはずです。 簡単な具体的な例をあげると、sin(x)を不定積分するとします。普通は直接積分するでしょうが、あえてこの方法で置換積分するとして、次の式が（多くのテキストの主張では）成り立ちます。 Integral(sin(x)dx) = Integral((2t/1+t^2) * 2/(1+t^2)dt)……[1] 右辺は、-(1-t^2)/(1+t^2)+C (Cは積分定数)の形で求まり、 (1-t^2)/(1+t^2) = cos(x)……[2] だったので、-cos(x)+C と不定積分が求まったかに見えます。 ところが、良く考えると、[1][2]の式はx=(2n-1)π,(n:整数)ではtが定義されないので、成り立ちません。tの式をあえてtan(2/x)で書いてみるとよくわかると思いますが、ところどころ不連続な関数（sin(x)を切ったもの）を積分し、不連続な関数（-cos(x)を切ったもの）が得られているだけです。しかも不連続ということは、各開区間で積分定数を独立に取れるので、厄介なことになります。 このあたりの議論を厳密にするにはどうすれば良いでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この不定積分の計算をおしえてください
1/(2+sin X) の不定積分の計算がわかりません。 ｔ＝tan X/2 を使うらしいんですが、どうしても答えが違うのでおしえてください。 まず sin X = 2t/(1+t^2) cos X =(1-t^2)/(1+t^2) であっていますか？ だとしたら dX/dt = 2/(1+t) ですよね？ しかし dX/dt =2/(1+t^2) になるらしいんです。 どこが違うのかおしえてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分。
置換積分で次の問題をとくには？ 「不定積分：∫1/(√(1+x^2))」 を解け」 という 問題なのですが、x=tanθで置換をして もできるらしいのですが(参考書には計算が面倒だができる) どうしても最後まで落とすことができません。 ちなみに参考書では√(x^2+1)+x=tで置換をやっていて、 計算は,√(x^2+1)+x=tとおくと[{x/√(x^2+1)}+1]dx=dt よって{1/√(x^2+1)}dx=(1/t)dt したがって∫1/(√(x^2+1))dx=∫(1/t)dt=logt+C=log{√(x^2+1)+x}+C という結果になっています。 しかし、x=tanθの置換をしたやりかたでは、 どのように計算をしていくのかが分りません。 どなたか、計算手順または解答を教えてください。 よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます x=(√2）/cos(t) でトライしたいと思います。