三元数はない？

質問

n次元の外積を調べてるうちに四元数なるものを知って、八元数、十六元数・・・と続くのに三元数とかがないのがよくわからなかったため質問しました。ちなみに私はwikipediaを見た程度なので全くと言っていいほどこれの知識はありません。それで改めて書くんですが三元数がないのはどうしてなんでしょうか？ 色々見てもあまり詳しいことは書いてなくてうまく定義できない、ということみたいなんですが具体的にどういうことなんでしょうか？　またネットで三元数がないことは証明されているとかいうのも見たんですが嘘かホントか正直全くわかりません。詳しく知っている方お願いします。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

この手のことに詳しい訳では全然ありませんが…

数学の歴史そのものが正確にそうだった訳じゃありませんが、
自然数→整数→有理数→実数→複素数、という拡張は、
「～について閉じている」という言葉はご存じかと思いますが、あえて、中高生向きの言葉で言うと…
その中の数の引き算の結果が必ずその中に入っているように、
その中の数の割り算の結果が必ずその中に入っているように、
その中の数を係数とする方程式の結果が必ずその中に入っているように、
と、拡張してきた結果で、これらについて、複素数は、ちゃんと「閉じている」

1とあと２つ単位になる何かを用意して、この３つを単位とする数の性質を調べていったとき…

例えば、1の虚数３乗根・ωを使って、1,ω,ω^2 を単位にした数学を考えると、これはこれで、面白いことが色々出てきますが、複素数の中での話、そこまでにはなかった、新しい「３元数」という数の話をしていることにはなりません。

で、1,i,j という３つの単位で、複素数の外側にも広がる世界の話を作り上げていくことになり、その第一段階として、i*j について考えるとき、

i*j = i や i*j = j となるとすれば、i = 1 や j = 1 ということになり、完全に論外、正負や定数倍をつけたくらいで、何とかなるような話ではありません。

そこで、i*j = 1 だとすると、これは、さっき考えた、1,ω,ω^2 で考えた世界と、同じような世界になってしまい、やはり、「３元数」の話にできない、これも小技でごまかせる類のものではありません。

では、この世界を成立させるには、i*j = k としなければなりませんが、実数a,b,cに対して、k = a + b*i + c*j が成り立つようでは、上の例と同じ話になってしまうので、k は、それでは表せない、さらに外の世界の数、ということになってしまいます。

で、そのkも勘定に入れて、考えたら…、何のことはない、「４元数」の世界が現れるだけになり、「３元数はない」、

ちゃんと理解している人から見れば、穴のあるかもしれませんが、私は、こんな感じで理解しています。

私がこのへんのことが何となく感じられるようになったとき、最初に、「３元数はない」じゃなくて、
「３元数」を無理矢理考えても、結果、複素数の範囲内の話になってしまったり、４元数の一部を、不完全に議論するだけになったりするから、意味はないんだよ」などと言ってもらえたら、もっとスンナリ納得できたのに、などと感じた覚えがあります^^

お礼

回答ありがとうございます！
参考になりました！もっと詳しく知りたいのでいろいろ本など見て勉強しようと思います。

回答No.1

Tacosan

「多元環」という意味では作ることができます. ただ, 「乗法に関して可換」とか「(0 でない数で) 割算ができる」とかいう条件を付けると「どうやってもダメ」ということ.

お礼

なるほど、そういうことなんですか。もっと詳しく勉強してみます
回答ありがとうございました！