数列と確認

質問

数列｛an｝がa1=4,an+1=4an+8/an+6で定められている。
(1)bn=an-β/an-αとおく。このとき,数列｛bn｝が等比数列となるようなα,β(α>β)の値を求めよ。

bn+1=an+1-β/an+1-α=(4an+8/an+6)-β/(4an+8/an+6)-α=(4-β)an+8-6β/(4-α)an+8-6α
=(4-β)/4-α・an+(8-6β/4-β)/an+(8-6α/4-α)・・・・(1)
｛bn｝が等比数列になるための条件は8-6α/4-α=-α,8-6β/4-β=-β
よって,α,βは２次方程式8-6x=-x(4-x)の2つの解であり,α>βからα=2,β=-4

教えてほしいところ
bn=an-β/an-αとおくんだったら annot=αを前提に解いていくんですよね。ですから、そうして得られたαがすべてのnに対して
annot=2ということを論じる必要があると思います。
何故、確認しなくていいんですか？？

回答No.1

koko_u_u · ベストアンサー

> 何故、確認しなくていいんですか？？

確認する必要があります。
また式の変形途中で、4-αなどが分母に現われる部分でも議論が足りません。

回答No.2

alice_44

bn = (an + 4)/(an - 2) と置くと、bn が等比数列になる…
各 n について bn が存在することが解っているのですから、
そのことによって、an ≠ 2 は保証されています。

むしろ、確認しなくてはならないのは、an ≠ -6 のほうです。