p(x,y)をX×Yの上の述語とする。次を示す

質問

任意のｘ(Ｘに含まれる)あるy(Ｙに含まれる){p(x,y)}
と
あるy(Ｙに含まれる)任意のｘ(Ｘに含まれる){p(x,y)}

とは異なることを身近な例を用いて説明せよ。

という問題です。
説明の仕方(道筋)がわからないので教えていただければ嬉しいです。

回答No.3

noname#154783

> Ｘをある授業の出席者の集合として
> Ｙを男と女の集合としても
> 証明できますか？

証明というか，例を挙げるということですよね?

いろいろ考えてみましたが，
私にはいい例が思いつきません．

> Ｙを男と女の集合としても

というのは
Y = {男, 女}
ということでしょうか?

それとも
Y = 男も女もひっくるめた集合
ってことでしょうか?

回答No.2

noname#221368

これは、#1さんも仰るように、

　　∀x∃y(p)　　(1)

と、

　　∃x∀y(p)　　(2)

を区別せよ、という問題ですが、このような書き方は論理学の癖ですので、定義に従って意味を考えるしかないです。定義に従えば、∀と∃を考える順番は、

　　∀x(∃y(p))　　(3)
　　∃x(∀y(p))　　(4)

となります。そして必ず左から考えます。日本語にすれば、

　　任意のxに対して、あるyが存在し、pが成り立つ　　(3’)
　　あるxが存在し、任意のyに対して、pが成り立つ　　(4’)

　・・・わかんないですよね？。もう少し日本語らしくします。

　　任意のxに対して、（xに依存した）あるyが存在し、pが成り立つ　　　　　　(3”)
　　あるxが存在し、（そのxを固定したまま）任意のyに対して、pが成り立つ　　(4”)

　・・・さらに歯切れ良くします。

　　各xで、あるyが存在しp　　　　　　　　(3”’)
　　固定したxがあり、任意のyでp　　　　　(4”’)

　Ｘ＝{世界中の女全部}の集合，Ｙ＝{世界中の男全部}の集合，p(x，y)は「xはyにもてもて」として、考えてみて下さい^^。

　・・・ここでやめようかと思ったのですが、書いちゃいます（以下は、半分冗談です^^）。

　　誰にでも、運命の人はいる　　　　　　　　(3””)
　　どうしようもなく、もてる奴もいる　　　　(4””)

　・・・以上です^^。

回答No.1

noname#154783

例えば X = Y = N (自然数全体の集合) とし，
p(x,y) を「yはxよりも大きい」とします．

∀x ∈ N, ∃y ∈ N [p(x,y)] は
「どんな自然数xに対しても，それより大きい自然数yが存在する」
という内容になり，この命題は真ですが，

∃y ∈ N, ∀x ∈ N [p(x,y)] は
「ある自然数yはどんな自然数よりも大きい」
という内容になり，この命題は偽です．

こういうことなんじゃないでしょうか?
身近かどうかはわかりませんが．

補足

ありがとうございました！
自分でも考えてみたのですが
Ｘをある授業の出席者の集合として
Ｙを男と女の集合としても
証明できますか？