媒介変数表示の曲線について

質問

添付した問題について解き方を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

f(t),0<t<π/2,f(t)>0,f'(t)>0
x=f(t)cost
y=f(t)sint
x'=f'(t)cost-f(t)sint
y'=f'(t)sint+f(t)cost
だから
C上の点P(f(t)cost,f(t)sint)における
接線の方程式は
(f'(t)cost-f(t)sint)(y-f(t)sint)=(f'(t)sint+f(t)cost)(x-f(t)cost)
だから
x軸との交点(σ(t),0)とすると
(f'(t)cost-f(t)sint)(0-f(t)sint)=(f'(t)sint+f(t)cost)(σ(t)-f(t)cost)
だから
σ(t)=(f(t))^2/(f'(t)sint+f(t)cost)
となる
OP=OAならば
f(t)=OP=OA=(f(t))^2/(f'(t)sint+f(t)cost)
f'(t)sint+f(t)cost=f(t)
だから
f'(t)sint+f(t)(cost-1)=0
をみたす
f'(t)(1+cost)-f(t)sint=0
だから
(d/dt)(f(t)(1+cost))=f'(t)(1+cost)-f(t)sint=0
となり
f(t)(1+cost)=C
3=f(π/3)(1+(1/2))=C
だから
f(t)=3(1+cost)^{-1}
が得られる