振動論の授業の問題について教えてください

質問

提出しなければならない問題なんですけれど式をたてることもできないです。
手を貸してください。

ファンデルポールの方程式
μ>0,μ＝0,μ<0の場合について,( 0, 0 )における限界点のタイプを決めよ。
μ→0のときに,等傾線が原点を通る直線に漸近することを示せ。
なぜこのようなことが予測されるか

Y"-μ{1-(Y'^2）/3}Y'+Y=0 (μ>0)
が自励振動を記述することを示せ。
Y'=yとおくとファンデルポールの方程式が得られることを示せ

ｙ"+(ω^2)y+βy^3=0
において、|β|は通常小さいとされ,復元力の1次からの小さいずれを特徴づける。
β>0の場合は固いばね,β<0の場合はやわらかいばねの場合である。
そう平面における軌道の方程式をもとめよ。
ただし、β>0に対してすべての曲線は閉じている。

回答No.1

Ae610

ファンデルポールの微分方程式はよく知られているので、URLを当たれば参考になる物があると思う。
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http://www.bi.s.u-tokyo.ac.jp/kuroda-lab/iwanami/pdf/appE.pdf
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Y"-μ{1-(Y'^2）/3}Y'+Y=0 (μ>0)は、
d^2y/dt^2 + f(y)・dy/dt + ky = 0
の形をしているから自励振動を表している。

Y"-μ{1-(Y'^2）/3}Y'+Y=0 (μ>0)
Y"－μ{Y'－(Y'^3)/3}Y' + Y = 0・・・(1)
Y'= yとおくと(1)は
y'－μ(y－y^3/3) + ∫ydt = 0・・・(2)
(2)を更に微分すると
y"－μ(1－y^2)y' + y = 0
となってvan der Polになる・・・！

ｙ"+(ω^2)y+βy^3=0
Duffing方程式で調べられてみては如何・・・！？
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http://knock.t.u-tokyo.ac.jp/lecture/pdf_data03/1_hisenkei_08.pdf
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