整数問題（図形の既出問題から）

質問

自然数a,bで、a^2+b^2+ab=61^2 を満たす(a,b)を求めよ。
a,bの候補として考えられる数の絞り込みの仕方が
分かりません。よろしくおねがいします。
考えたのは、
(1)a>=bとして、61^2>=3b^2
これだと、bの候補が多すぎる
(2)(2a+b)^2+3b^2=(2・61)^2と変形して、aとbについて
3の倍数で絞り込めないか考えましたが、まとまらず。
(3)(a+b)^2-ab=61^2と変形してみましたが、進展せず。

回答No.7

Kules · ベストアンサー

他の人の回答を参考に作った解答なのでちょっとヒキョウですが…

証明的なものは示さないので、必要と感じたらその都度やって下さい。
(3)より
(a+b)^2=61+ab=(61+m)^2
となるので
a+b=51+m…(*)
ab=122m+m^2
となります。解と係数の関係よりa,bは
x^2-(61+m)x+(122m+m^2)=0…(*)
の２解である。a,bは自然数なので、少なくともこの方程式は解をもつ必要があります。
判別式≧0より
(61+m)^2-4(122m+m^2)≧0
これより、
-(2√3/3-1)*61≦m≦(2√3/3-1)*61
となり、(*)式の左辺が正であることから122m+m^2>0⇔m<-122、m>0なので、
結局
0<m≦(2√3/3-1)*61
です。(2√3/3-1)*61≒9.5で、さらにmは整数なので、
m=1～9です。
これらのmを代入したとき、Dが平方数で、かつ解の公式
(61+m±√D)/2が自然数になる時、それがa,bの答えです。

といってもDはなかなか大きい数字の計算になりますし、あまりスマートではありませんね。
他の方の解法のように剰余を使った方がいいかもしれません。

参考になれば幸いです。

お礼

回答ありがとうございます
すっきりした解き方だと思いました。
数字が大きいところが面倒かと思いますが、
参考になります

回答No.6

momordica

#4です。　度々すみません。
半分で投げるのも何なので、一応残りの確認をしておきます。

a, b がともに奇数のとき、
　ab=61^2-a^2-b^2≡-1 (mod 4)
なので、
　a≡1, b≡-1 　または 　a≡-1, b≡1　(mod 4)
のいずれかです。
仮にa≡-1 (mod 4)　とすると、
#4の回答の5，7で割ったあまりの話は有効なので、考えられる aの候補は
　19, 35, 51
の3通り。
このうちいずれの場合も、二次方程式を解くとbは自然数になりません。
b≡-1 (mod 4)　の場合も同様です。
よって、条件を満たす自然数の組は、#4で書いた2通りだけです。

こうなると、やっぱりあんまりいい絞り込み方とは言えないなぁ。

回答No.5

momordica

#4です。すみません。間違ってました。

> 右辺は奇数ですから、aとｂは偶数と奇数でなければなりません。

初っ端から大嘘書いてますね（汗）
奇数と奇数でもいいです。何を勘違いしたんだろ。

回答No.4

momordica

とりあえず、a^2<61^2、b^2<61^2 ですから、　a<61、b<61　です。

次に右辺は奇数ですから、aとｂは偶数と奇数でなければなりません。
とりあえず、aの方が偶数となる場合を考えます。

4で割ったあまりを考えてみると、
　a^2≡0, b^2≡1, 61^2≡1 (mod 4)
ですから、
　ab=61^2-a^2-b^2≡0 (mod 4)
よって、aは４の倍数です。

ここまででaの候補は60までの4の正の倍数と言うことで15個に絞れます。
15個ぐらいなら力技で全部方程式立てて解いてもいいんですが、せっかくなので
もうちょっと絞ってみます。

５で割ったあまりを考えてみると、
　61^2≡1 (mod 5)
aについては　a≡0,±1,±2の５通り、bについても同様に５通りが考えられますが、
試してみると、a≡±2のときは、b≡0,±1,±2　のいずれの場合も
a^2+b^2+ab≡1　にはなりません。　よって、考えられる可能性は、
　a≡0,±1 (mod 5)
の3通りです。

同様に７で割ったあまりを考えると、考えられる可能性は
　a≡0,±2 (mod 7)
の3通りのみとなります。

以上から、aの候補は
　16, 40, 44, 56
の4つに絞られます。

まあ、ここまで絞ればいいかなと言うことで2次方程式を4つ立てて解いてみると、
bも自然数となるのは、
　a=56, b=9
のみとなります。

aとbが反対の場合も条件を満たすので、結局条件を満たす自然数の組は
　(a, b) = (56, 9), (9, 56)
の2通りです。
そんなにスマートでもない感じですね。

お礼

回答ありがとうございます
剰余で絞り込んでいく方法は参考になりました。
なるほどと思いました。

回答No.3

mister_moonlight

普通にやれば、解けるんじゃないの？

a^2+ab＋b^2-61^2＝0　aについての判別式＝(122)＾2-3b＾2＝m＾2　mは自然数。

よつて、(122+m)*(122-m)＝3b＾2。
122+m≧122-m　から、(122+m、122-m)＝(b＾2、3)、(3b、b)、(3b＾2、1)‥‥(1)
この中で、共に整数になるのは、(b、m)＝(9、121)のみ。
この時、条件式は　(a-56)*(a+65)＝0　であるから、求めるものは(a、b)＝(56、9)。

(1)の場合わけで漏れはないと思うが、確認して欲しい。

お礼

回答ありがとうございます
(122+m)*(122-m)＝3b＾2。
のとき、
(122+m、122-m)＝(b＾2、3)、(3b、b)、(3b＾2、1)‥‥(1)
bが素数でない場合は(1)以外にもあるのでないかと思いました。

回答No.2

178-tall

> a^2+b^2+ab=61^2
　　　↓
　(a+b)^2 - ab = 61^2
　(a+b)^2 - 61^2 = ab
として、
　(a+b) = 62, 63, 64, 65, … と増してみると
　　　↓
　ab = 123, 248, 375, 504, と増える。
ab を積分解して、a, b を想定 (ひと通りと限らない) して上式へ代入してみる…という素朴な「虱潰し」を試みたところ、
　a+b = 65
　ab = 504
でヒット、つまり、整数解をもつ 2 次方程式が得られました。

もっと、スマートな解法があるのかも…。

回答No.1

laughust

数学は苦手なので完全な解答になるかどうかはわかりませんが、数字は求められます。

(3)の形から、61^2より(a+b)^2は少し大きいことがわかります。
そこで、62^2,63^2,…の場合を考えていきます。
すると、a+bが65になる場合に式が成立します。
これをうまく説明すれば解答になるのではないでしょうか。