この問題のやり方教えて！数値計算の問題です

質問

この問題の解答を教えてください 平方根の値が有効桁数7桁で求まるとするとき、1001^(1/2),1000^(1/2)の近似値はそれぞれ31.63858, 31.62278となる。このとき1001^(1/2),1000^(1/2)の差の値を桁落ちしないように求めよ。

よろしくお願いします

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

近似計算ということなので、テイラー展開を用いる方法もありますよね。

√1001- √1000
＝ √1000* { √(1001/1000)- 1 }
＝ √1000* { √(1+1/1000)- 1 }

ここで √(1+ x)のテイラー展開を考えると、
√(1+ x)＝ 1+ 1/2* x- 1/8* x^2+ 1/16* x^3+・・・

x＝ 1/1000＝ 10^(-3)を代入すれば
√(1+ 1/1000)＝ 1+ 1/2*10^(-3)- 1/8*10^(-6)+ 1/16*10^(-9)+・・・

x^3＝ 10^(-9)以降の項は有効桁数 7ケタには影響しなくなるので、
√1001- √1000
≒ √1000* { 1/2*10^(-3)- 1/8*10^(-6) }
＝ 31.62278* (500- 0.125)* 10^(-6)
＝ 0.0158074372
≒ 0.01580744

回答No.2

info22_

1001^(1/2)-1000^(1/2)
={1001^(1/2)-1000^(1/2)}{1001^(1/2)+1000^(1/2)}/{1001^(1/2)+1000^(1/2)}
=(1001-1000)/{1001^(1/2)+1000^(1/2)}
=1/{1001^(1/2)+1000^(1/2)}
=1/(31.63858+31.62278)
=1/63.26136
=0.015807437589075
≒0.01580744

お礼

ありがとうございます

回答No.1

himajin100000

自信なし。
x + y = 0 でないとき、
x - y = (x^2 - y^2) / ( x + y )
ここで、x = 1001^(1/2) , y = 1000^(1/2)とすると
x^2 - y^2 = 1001 - 1000 = 1であるから
1 / ( 31.63858 + 31.62278) ≒ 0.0158074376
で、多分7桁以上出てこさせることが出来るんじゃないかなあと。