周波数伝達関数の振幅の式について

質問

周波数伝達関数の振幅の式についての質問です。

入出力についての伝達関数が、

G(s)=wn^{2} / ((e^{Td s} s^{2}) + 2ξ wn s + wn^{2})

であり、ξ=1/2 ((v/(ug)) + T) k^{1/2}、wn=k^{1/2}のとき、

周波数伝達関数G(jw)の振幅が|G(jw)| < 1となるためには、

((v/(ug)) + T)^{1/2} K > 2/(cos w Td)

となる。

と、書かれているのですが、最後の式にたどり着けません。

そもそも、2次遅れ系の伝達関数に無駄時間要素Tdの入る形が
最初の伝達関数の式であっているのかも謎なのですが、オイラーの公式を
つかってcosとsinが出てきて、虚数と実数部の二乗和の平方根をとって。。。

などとしてやっていっても、途中でぐちゃぐちゃになってしまって、
最後の式のようにまとまりません。

どなたか教えていただけないでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.1

178-tall

ステップを経ないと、判り難いようです。

たとえば Td = 0 の場合なら…

　G(s) = 1/{s^2 + bs + k}　：　b = 2ξwn
　　　　　↓
　|G(jw)|^2 = 1/(x^2 + Bx + C)　　　…(1)
　　x = w^2,　B = b^2 - 2k,　C = k^2
(1) の極大点 xm (≧0) は、
　B > 0 なら、xm = 0　にて、1/C
　B < 0 なら、xm = -B/2　にて、1/{C - (B^2)/4}

…といった調子でしょうか。