明日、試験なので急ぎで教えてください。

質問

ランクサンの部分空間Ｖ＝〈(１　２　１)、(３　１　２)〉について、次の問いに答えよ。

　（１）　Ｖの直交補空間Ｖを求めよ。

　（２）　（９　－２　－９）をＶの元と直交空間Ｖの元の和で表せ。

　　　　　　という問題の、解き方が全く解りません。ちなみに、数字は、横に書いてありますが、縦に　　　　考えてください。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

Vが(1,2,1),(3,1,-5)で生成される空間ならば
|x,y,z|
|1,2,1|
|3,1,2|
=3x+y-5z=0
((1,2,1),(3,1,-5))=3+2-5=0
((3,1,2),(3,1,-5))=9+1-10=0
V={(x,y,z)|3x+y-5z=0}

(1)
R=(全実数)
Vの直交補空間を⊥Vとすると
⊥V={c(3,1,-5)|c∈R}

(2)
(9,-2,-9)=x(1,2,1)+y(3,1,2)+z(3,1,-5)
X=t(x,y,z)
b=t(9,-2,-9)
A=
(1,3,3)
(2,1,1)
(1,2,-5)
とすると
AX=b
だから
X=A^{-1}b=t(-3,2,2)
→(9,-2,-9)=-3(1,2,1)+2(3,1,2)+2(3,1,-5)
(3,-4,1)=-3(1,2,1)+2(3,1,2)∈V
(6,2,-10)=2(3,1,-5)∈⊥V
∴
(9,-2,-9)=(3,-4,1)+(6,2,-10)