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次の問題、ずっと考えているのですが、なかなか解法が思いつきません。考え方教えて頂けないでしょうか。 第2項が2、第5項が11である等差数列{an}がある。 (2)2つの数列{bn}{cn}の一般項を bn=an+2 cn=an-2 とする。b1,b2,b3,…とc1,c2,c3,…を合わせたすべての項を小さい方から順に並べて作られる数列をdnとするとき、d30を求めよ。 (3)(2)の数列{dn}について、(上に、2n,下に、K=1)Σdkをnで表せ。

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a_nの公差をDとおくと一般項は、  a_n=a_1+(n-1)D・・・(1) と書ける。 a_2=2、a_5=11を(1)に代入すると、  2=a_1+(2-1)D  5=a_1+(5-1)D から、D=3、a_1=-1とるので、(1)は  a_n=3n-4・・・(2) となる。よって  b_n=3n-2・・・(3)  c_n=3n-6・・・(4) を得る。次に{b_n}と{c_n}の関係を探る為に、  c_n < b_m < c_(n+1)・・・(5) を満たすmをnで表す事を考える。 (3)(4)を(5)に代入すると、  3n-6 < 3m-2 < 3(n+1)-6 変形して、  0 < 3(m-n)+4 < 3 これを満たす整数(m-n)は、m-n=-1のみなので、(5)を満たすmはm=n-1のみとなり、  c_n < b_(n-1) < c_(n+1)・・・(6) の関係を得る。これより{b_n}と{c_n}の関係は、  c_1 < c_2 < b_1 < c_3 < b_2 < c_4 ・・・ よって、{d_n}の一般項は、  初項: d_1 = c1,  偶数項: d_(2n) = c_(n+1),  奇数項(初項を除く): d_(2n+1) = b_n と表せる。よってd_30は、  d_30 = c_(15+1) = 3・16-6 = 42 ・・・(1)の答え また、{d_k}の2n項までの和は、初項、偶数項、奇数項ごとに計算し、  Σ[k=1,2n]d_k = c_1 + Σ[s=1,n]d_(2s) + Σ[s=1,n-1]d_(2s+1)         = c_1 + Σ[s=1,n]c_(s+1) + Σ[s=1,n-1]b_s         = -3 + Σ[s=1,n](3s-3) + Σ[s=1,n-1](3s-2)         = 3n^2 - 5n + 1 ・・・(2)の答え となる。  

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  • 回答No.1
noname#154783
noname#154783

「a[2] = 2, a[5] = 11 の等差数列」という条件から{a[n]}の一般項は a[n] = 3n - 4. (2) したがって, b[n] = 3n - 2 = c[n+1] + 1, c[n] = 3n - 6. b[1], b[2], ... と c[1], c[2], ...を合わせて小さいものから順に並べると, c[1], c[2], b[1], c[3], b[2], c[4], b[3], ... すなわち, {d[n]}の奇数項は d[1] = c[1], d[n] = b[(n-1)/2] (n ≧ 3), {d[n]}の偶数項は d[n] = c[n/2+1] (n ≧ 2) となる. ∴d[30] = c[16] = 3×16 - 6 = 42. (3) n = 1 に対して Σ[k=1,2n]d[k] = c[1] + c[2] = -3 + 0 = -3. n ≧ 2 に対して Σ[k=1,2n]d[k] = c[1] + Σ[j=1,n-1]b[j] + Σ[j=2,n+1]c[j] = -3 + Σ[j=1,n-1](3j - 2) + Σ[j=2,n+1](3j - 6) = -3 + (3n - 4)(n - 1)/2 + (3n - 3)n/2 = 3n^2 - 5n - 1. この式は n = 1 のときにも成立する. したがって,任意の正整数 n に対して Σ[k=1,2n]d[k] = 3n^2 - 5n - 1. # 考え方といっても単に{d[n]}の最初の数項を具体的に並べてみて, # パターンを読み取っただけです. # ひょっとしたらもっと利口なやり方があるかもしれません.

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