連続体力学に詳しい方、教えてください

質問

連続体力学の式導出に関する質問です。

[a,b,c]をスカラー三重積、Fを変形勾配テンソルと定義します。基準配置においてdX1, dX2, dX3を三辺とする体積dVの微小平行六面体が，変形後の現配置ではdx1，dx1，dx1を三辺とする微小平行六面体になるとしますと，変形後の体積dvは
dv=[F・dx1,F・dx2,F・dx3]=(detF)[dX1,dX2,dX3]= (detF)dV
となりますが、このときの
[F・dx1,F・dx2,F・dx3]=(detF)[dX1,dX2,dX3]
の導出方法が分かりません。詳しく解説していただけると助かります。

よろしくお願いします。

回答No.4

yokkun831 · ベストアンサー

>FdXi を列ベクトルと考えれば、行列自体を考えて、
>( FdX1，FdX2，FdX3 )　= F ( dX1，dX2，dX3 )　
>となるので、行列式をとると、
>| FdX1，FdX2，FdX3 | = | F ( dX1，dX2，dX3 ) |
>となる、という解釈の仕方でよろしいでしょうか？

そういうことになると思います。

お礼

分かりました。

幾度も丁寧なご回答をしていただきありがとうございます。

回答No.3

yokkun831

>[F・dx1,F・dx2,F・dx3]=[F・ ( dX1，dX2，dX3 )]

左辺dx1 etc. はdX1 etc.の間違いと見ていいでしょうか？
そうすると，

[F・dX1,F・dX2,F・dX3]=[F・ ( dX1，dX2，dX3 )]

これが意味をなさないことは，明らかです。
----------------------------------------------------
もう一度よく読み取っていただけませんか？私が書いたものは，

[ FdX1，FdX2，FdX3 ]
= | FdX1，FdX2，FdX3 | = | F ( dX1，dX2，dX3 ) |

であり，指摘されたものとは全然違います。
| FdX1，FdX2，FdX3 |　は，３つの列ベクトルFdX1，FdX2，FdX3を並べた3×3行列の行列式です。その行列自体は，
( FdX1，FdX2，FdX3 )　　3×3 行列
= F ( dX1，dX2，dX3 )　　3×3行列と3×3行列の積
再度行列式をとれば
| F ( dX1，dX2，dX3 ) | = | F | ・ | dX1，dX2，dX3 |
となります。

最後の積の分離は，
「行列積の行列式は各行列の行列式の積になる」
という行列式の基本性質です。

補足

返事遅くなって申し訳ありません。

指摘した人は FdXi が行ベクトルと考えており、スカラー三重積から

| FdX1，FdX2，FdX3 | = FdX1・（FdX2 × FdX3）

となるので、

FdX1・（FdX2 × FdX3） = | F ( dX1，dX2，dX3 ) |

となるのことがおかしい、という内容の指摘だと解釈しています。

FdXi を列ベクトルと考えれば、行列自体を考えて、

( FdX1，FdX2，FdX3 )　= F ( dX1，dX2，dX3 )　

となるので、行列式をとると、

| FdX1，FdX2，FdX3 | = | F ( dX1，dX2，dX3 ) |

となる、という解釈の仕方でよろしいでしょうか？

回答No.2

yokkun831

やはり筋違いでしたね。すみません。

dv = [ dx1，dx2，dx3 ] = [ FdX1，FdX2，FdX3 ]
= | FdX1，FdX2，FdX3 | = | F ( dX1，dX2，dX3 ) |
= | F | | dX1，dX2，dX3 |
= det(F) [ dX1，dX2，dX3 ]

ではないのですか？

dv=[F・dx1,F・dx2,F・dx3]　が奇妙な感じです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

| F ( dX1，dX2，dX3 ) |　= | F | | dX1，dX2，dX3 |

の部分をきちんと証明しなければいけないかもしれませんが、参考になりました。
この導出でゼミをクリアできれば、ベストアンサーを差し上げたいと思います。

補足

回答内容に関してスカラー3重積より、

[F・dx1,F・dx2,F・dx3]=（F・dx1）・（（F・dx2）×（F・dx3））

となるので、

[F・dx1,F・dx2,F・dx3]=[F・ ( dX1，dX2，dX3 )]

の変換は間違っているとの指摘がありました。

どのように変換すればよいか、何かアドバイスありますか？

よろしくお願いします。

回答No.1

yokkun831

連続体力学に詳しくはありませんが…

Fは，結局 xi から Xi への変換だと思うのですが，そうすると
dv = (detF)dV
のdetF は積分の変数変換に出てくるヤコビアンになりませんか？

Fij = ∂xi / ∂Xj 　 として，
dv = | ∂( { xi } ) / ∂( { Xj } ) | dV
ここで，
| ∂( { xi } ) / ∂( { Xj } ) | = det(Fij)

となると思います。筋違いでしたらごめんなさい。

お礼

ご回答ありがとうございます。

detFがヤコビアンになることは分かっているのですが、質問で示した式の導出をしなければいけませんので…

3×3の行列Fを代入して、地道に計算するしかないですかね？