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PQ=Oについての証明

背理法について(難) 2次正方行列P、Qについて、次のことを証明せよ。 PQ=O→P=OまたはQ=OまたはΔ(P)=Δ(Q)=0 指針 P284でも学んだように、行列においてはPQ=OであってもPnot=OであってもPnot=OかつQnot=Oとなることもある。 よって、この「Pnot=OかつQnot=O」の場合に,Δ(P)=Δ(Q)=0となることを示す。 直接は証明しにくいので背理法を利用する。 PQ=Oならば,P,Qについて,次の3つの場合がある。 [1]P=O [2]Q=O [3]Pnot=OかつQnot=O よって,[3]のとき⊿(P)=⊿(Q)=0となることを示す。 PQ=Oで[3]の場合,⊿(P)not=0と仮定すると,Pは逆行列を持つから,PQ=OからP^-1を掛けて P^-1PQ=P^-1O よってQ=O これはQnot=Oに矛盾するから⊿(P)=0 同様に,⊿(Q)not=0と仮定してもP=Oとなり,矛盾が生じる。 よって,PQ=O⇒P=OまたはQ=Oまたは⊿(P)=⊿(Q)=0 教えてほしいところ 要するに、Pnot=OかつQnot=O⇒⊿(P)=⊿(Q)=0を示す。 そのために⊿(P)not=0または⊿(Q)not=0が成り立たないことを示すということですよね。 何故、⊿(P)not=0を仮定して矛盾を導き、さらに,⊿(Q)not=0と仮定して矛盾を導くと⊿(P)not=0または⊿(Q)not=0が成り立たないと言えるんですか??? 誰か教えて下さい

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  • 回答No.4
  • Tacosan
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いまさらど~でもような気はするが一応突っ込んでおく. やっていることは 「⊿(P)not=0は成り立たないかつ⊿(Q)not=0は成り立たない⇒⊿(P)not=0または⊿(Q)not=0は成り立たない」 であって 「⊿(P)not=0かつ⊿(Q)not=0は成り立たない⇒⊿(P)not=0または⊿(Q)not=0は成り立たない」 ではない. そもそも「要するに」以降 (より正確にはその次の「そのために」以降) は「いばらの道を自ら選んで進んでいる」だけなんだが, そのことに気づいてない?

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その他の回答 (3)

  • 回答No.3
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

無駄に論理で考えると [(p⇒r)∧(q⇒r)] ⇒ [(p∨q)⇒r] というだけで, 特に難しいことはないのではないかな. ⇒ をばらして分配法則を逆に使えば同値だってことがわかる.

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  • 回答No.2

#1です。 >⊿(P)not=0かつ⊿(Q)not=0は成り立たない⇒⊿(P)not=0または⊿(Q)not=0は成り立たない ???そんな論理展開ではないですよね??? 「PQ=Oである」という条件が飛んでしまっていませんか? PQ=Oが成り立つとき、P≠Oかつ Q≠Oであるならば、ΔP= 0かつ ΔQ= 0である。 これが示したい内容ですね。 そして、ΔP≠ 0である(P^(-1)が存在する)とすると、PQ=Oより Q=O 逆に、ΔQ≠ 0であるとすれば、PQ=Oより P=Oが示されてしまいます。 ということです。 >逆行列と考えれば済む問題かもしれませんが、論理が得意になりたいので式にこだわりたいです。 論理をきちんとするのであれば、式にこだわるのではなくて、言葉できちんと説明できることが重要です。 「⇒」の記号を単に「ならば」とするかしないかだけの違いだとも思いますが。 疑問点がうまくつかみきれていないかもしれません。>_<

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  • 回答No.1

こんばんわ。 >何故、⊿(P)not=0を仮定して矛盾を導き、さらに,⊿(Q)not=0と仮定して矛盾を導くと >⊿(P)not=0または⊿(Q)not=0が成り立たないと言えるんですか??? うーん、まさに「背理法」なのですが・・・ 「行列式= 0のとき」というよりも、 「PもQも逆行列をもたないとき」を考えていると意識すればいいかと。 逆行列をもつと仮定すると矛盾がでる。よって、逆行列をもたない。 これを行列式を用いて言い換えているだけですね。

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質問者からの補足

⊿(P)not=0かつ⊿(Q)not=0は成り立たない⇒⊿(P)not=0または⊿(Q)not=0は成り立たない という論法が理解に苦しみます。 逆行列と考えれば済む問題かもしれませんが、論理が得意になりたいので式にこだわりたいです。

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