満たすときと満たすようなについて

質問

行列A=(a b),E=(1 0)がA^2-4A+3E=Oを満たすとき,a+d,ad-bcの値を求めよ。
wwwww(c d)ww(0 1)

この問題なんですが,満たすときという場合は
A⇒B⇒Cとなれば別の逆を満たす必要がない気がします。
例えば、この問題では(p-4)A-(q-3)E=Oという形が導けたとき、
正方行列Aに対して sA+tE=O⇒s=t=0またはA=kEより、
p=4のとき,q=3 そしてpnot=4のときA=kE
よって
答えはp=4,q=3とpnot=4とqは任意の実数となると考えました。
満たすようにであれば、pnot=4でqは任意の実数という答えはありません。
なぜなら、A=kEとしてもA^2-4A+3E=Oという条件を満たしていないからです。
しかし、満たすときであれば別に満たすようにする必要性がない(十分性を確保する必要性がない）
と思います。
この問題の答えは(p,q)=(2,1),(4,3),(6,9)なんですが何故、満たすようにじゃないのにこの答えなんでしょうか？？
教えて下さい。

回答No.1

ichiro_abe · ベストアンサー

>p=4のとき,q=3 そしてpnot=4のときA=kE

とありますが、ここがおかしいのではないかと思います。

pnot=4のときはA=kEとして、{(p-4)k-(q-3)}E=0となるので、
(p-4)k-(q-3)=0が条件になります。
あとは、A=kEより、p=2k、q=k^2を代入すれば、
(p,q)=(6,9),(2,1)が導かれます。