数学 数学的帰納法 証明

質問

二次関数族Qc(x)=x^2＋ｃ　ｃは定数

ｃ＞1/4のとき
このグラフはｙ＝ｘと交わらない。
よってグラフからｃ＞1/4のとき、Qcのすべての軌道は無限大に漸近する。

という証明をグラフから読み取って証明するのではなく
数学的帰納法を用いて証明してくださいと先生から言われて迷っています。

私の考えだと
ｃ＝１としたときに
ｘ^2+1となり　ｘ^2+1は１より大きいことになり・・・

どうしてもグラフから読み取る方法しか思いつきません。

アドバイスでもなんでも結構です。
協力お願いいたします。

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

c>1/4
x_0=x
整数n≧0に対して
x_{n+1}=(x_n)^2+c
とする
整数k≧0に対して
x_{k+1}-x_k=[x_k-(1/2)]^2+c-(1/4)≧c-(1/4)
だから
x_n-x_0=Σ_{k=0～n-1}(x_{k+1}-x_k)≧n{c-(1/4)}

∀K>0 に対して
∃n_0>(K+|x_0|)/{c-(1/4)}
n>n_0
→
x_n≧x_0+n{c-(1/4)}≧x_0+n_0{c-(1/4)}≧x_0+|x_0|+K≧K
だから
lim_{n→∞}(x_n)=∞

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

muturajcp

c>1/4
c-(1/4)>0
{x-(1/2)}^2≧0
x^2+c-x={x-(1/2)}^2+{c-(1/4)}>0
だから
Qc(x)=x^2+cとy=xは交わらない

∀K>0 に対して
∃L>K+2
∀x>L
→
{x-(1/2)}^2>{L-(1/2)}^2>(K+1)^2>K
x^2+c-x={x-(1/2)}^2+{c-(1/4)}>K
だから
lim_{x→∞}(x^2+c-x)=∞

回答No.2

Tacosan

c > 1/4 なら任意の x に対して x^2+c > x... で終わりなんだけど, そもそも「何を」証明するのか, ちゃんと式で書けますか?

補足

証明したい内容は
Xo=x
X1=x^2+1
X2=(x^2+1)^2+1
X3={(x^2+1)^2+1}^2
・・・・・
となるとき
Xnが無限大に発散することを最終的には証明したいです。

これを数学的帰納法を用いて証明することは可能でしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.1

Tacosan

「Qcのすべての軌道は無限大に漸近する」の意味が分かりません. 何をしたいのですか?

補足

下の写真のように軌道が無限大に近づいていくことを証明したいです。

わかりにくい説明ですみません。