順列の問題です

質問

1.1.2.2.3.3.4の７つの数字を並べるとき、1132324は小さい方から数えて何番目か。

という問題です。
ちなみに答えは15番目です。
考え方がわからないのでお願いします(>_<)

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

1132324 は 1122334 の上から3桁目と6桁目を入れ替えただけなので、何か上手い方法があるかもしれませんが、一番確実なのは実際に並べて数えてみることでしょう。
　ただそれでは順列の問題として考えたことにならないでしょうから、上4桁で場合分けしてに考えると良いかもしれません。

1) 上4桁"1122"：　右の3通り。　1122 334, 1122 343, 1122 433
2) 上4桁"1123"：　右の6通り。　1123 234, 1123 243, 1123 324, 1123 342, 1123 423, 1123 432
3) 上4桁"1124"：　右の3通り。　1124 233, 1124 323, 1124 332
4) 上4桁"1132"：　右の3通り。　1132 234, 1132 243, 1132 324
　（右の実際の数と場合の数は参考用です。）

　以下に順列の考え方を使って計算で求めます。

1) 上4桁"1122"のとき
　下4桁は3,3,4の重複順列なので、場合の数は　3!/2!=3 通り。
　（或いは、3,3,4の中から　4の位置の選ぶ場合の数と考えて　3C1=3 でも構いません。）

2) 上4桁"1123"のとき
　下4桁は2,3,4の順列なので、場合の数は　3!=6 通り。

3) 上4桁"1124"のとき
　下4桁は2,3,3の重複順列なので、場合の数は　3!/2!=3 通り。

4) 上4桁"1132"のとき
　ここは実際の作って数えた方が早いです。　"1132324"は3番目。

　以上から、"1132324"は小さい方から数えて
　　3+6+3+3=15 (番目)

お礼

とても分かりやすく解説していただき助かりました。
理解できました★
ありがとうございます!

回答No.1

Kules

見た感じ辞書式配列（って名前だった気が）のちょっと応用版みたいですね。
こういうのの考える時に大事なのは、
「１～（残り６つの数字）」となるやつよりも、「２～（残り６つの数字）」となるものの方が大きいということです。
つまり、
「２～」となるものの中で一番小さいもの（今回でいうと2112334でしょうか）は、小さい方から数えて
「１～となるものの総数」＋１番目ということになります。
で、今回は1132324となる時のことを聞かれているので、これよりも小さい数字になるものを位の大きい方から何個ずつあるか数えればよさそうです。

まず、1132324なので、
100万の位は一番小さい
10万の位は一番小さいですが、
1万の位は一番小さくはないです。（２が入れますね）
ということで、
112～となるものが何個あるか数えます（N1個あるとします）
ということは、113～となるものの中で一番小さいもの(1132234)は小さい方から数えてN1+1番目です。
次の位からも同様に決めていきます。
113～となるもので一番小さいものは1132234ですから、それと比較します。
1000の位は一番小さいですが
100の位は一番小さくはないです。
11322～となるものが何個か数えれば、
11323～となるものが小さい方から数えて何番目かわかります。
1132324が11323～となるもので一番小さいのので、
これで何番目かが求まります。

と、ぐちゃぐちゃ書きましたが、
個人的には1132324だったら全体の中でもかなり小さい方だし、直接数えろよって思います。
（実際解答に、「７つの数字を小さい方から並べると、1122334、1122343、1122433、…（15個書く）よって、1132324は15番目である」って書いても多分問題ないでしょうし）

参考になれば幸いです。

お礼

分かりやすい解説ありがとうございます。
助かりました(>_<)!