中学入試「算数（幾何）」の問題

質問

中学入試「算数」の問題が解けず、困っています。問題は以下のとおりです。

------------
図の四角形ABCDにおいて、DE=2cm, BC=1cm, 角DABと角ECBはともに90度で、
AB, AD, AEの長さはすべて等しいとします。このとき、四角形ABEDの面積を求めなさい。
------------

この問題は、小学校の新学習指導要領の移行措置で平成21年度から加わった内容で、
「三角形の合同・相似」は使っても構わないそうです。
ただし、平方根や三平方の定理は中学範囲となるので使ってはならず、これらを使わずに
この問題を解くことができず困っています。

複数の大人で考えていますが一向に回答が出せず、とても困っています。
どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

himajin100000 · ベストアンサー

ちゃんとした解答書くの面倒なんで指針だけ

DCの延長線とABの延長線の交点をF
DEの中点をG
⊿DGAと⊿EGAと⊿BCFが合同。
BF = DA = AB
GA = CF …★
DG = EG = BC = 1cm

よって
BF : AF = BF : AB + BF = 1 : 2

ところで、
⊿DAFと⊿BCFも相似だよね
DA : AF = 1:2だから
BC : CF = 1:2
ああ、BCは1cmだっけ。じゃあCFは2cmだね

★よりGAも2cm
ああ、そういえば、
⊿GAFと⊿CBFも相似だったね。
GA:GF = CB:CF
2cm:GF = 1cm:2cm
じゃあGFは4cm
GF = EG + EC + CF
4 = 1 + EC + 2
EC = 1

あとは底辺の比を使う。

間違ってたらごめん。7/2平方ｃｍ？

お礼

ありがとうございました。
非常にわかりやすく、助かりました。
小学校の範囲で最も早く答えをいただいたので、ベストアンサーに選ばせていただきました。

回答No.7

htms42

既に解答が出ていますが
発見的に解くとしたら、という事で考えてみました。

（１）図を分割して、面積を求めやすい図形を見つける、
（２）図に何かをつけ加えて面積を求めやすい図形を求める

のどちらかになると思います。

（１）の場合、垂線を下ろしてみるというのが思い浮かびます。
　　（あ）ＡからＣＤに垂線を下ろす
　　（い）ＡからＢＣの延長線に垂線を下ろす

（２）の場合、延長してみるというのが思い浮かびます。
　　（あ）ＡＢ、ＤＣを延長する
　　（い）ＤＡ，ＣＢを延長する

こういうイメージで実際に図を書いてみると、ここに同じ角度が出てくるとか、同じ図形が出てくるというのが見えてきます。既に出てきている回答はこれらのどれかになっています。

（２）の（い）を使うと、延長した２本の線の中にＡＢＣＤがもうひとつすっぽり入るというのが分かります。
出来上がった図形は台形です。相似形を使う必要がありませんので楽です。＃６様の回答にある４つ合わせて正方形になるというのはいきなりでは分かりません。この台形２つを組み合わせると正方形になることが分かるのだと思います。

「複数の大人が考えても、どう解いていいかわからなかった」という事ですが
こういう方針を押さえていなかったからではないでしょうか。
やみくもにやってポッと正解が見つかるというものではないでしょう。
試行錯誤にもある程度の方向性が必要です。

お礼

ありがとうございました。
確かに、小学校の問題ということで発想力だけで勝負しようとしていた部分がありました。
このように方向性があれば解答にたどり着きやすいと思います。
今後役に立ちそうなアドバイスで、大変助かりました。

回答No.6

momordica

#3さんの回答と本質的には何も変わらないのですが、
問題の図形は、図のように4つくっつけると正方形になります。
また、△BCEは直角二等辺三角形です。
よって求める面積は
　(1辺が4cmの正方形)÷4 - △BCE
　　　=4×4÷4 - 1×1÷2
　　　=4-0.5
　　　=3.5　(cm^2)

お礼

ありがとうございました。
このような正方形を用いた発想は全くなく、大変興味深く拝見いたしました。

回答No.5

gohtraw

ＤＣとＡＢを延長してその交点をＦ、ＡからＣＤに垂線を下ろしてＣＤとの交点をＧとします。
角ＤＥＡ＋角ＡＥＢ＋角ＢＥＣ＝１８０°　であることから（詳細は省略しますが）角ＢＥＣ＝４５°なのでＥＣ＝１ｃｍです。
また、∠ＣＢＦ＝角ＡＤＥ、ＤＧ＝１ｃｍであることから△ＡＤＧと△ＦＢＣは合同なのでＦＣ＝２ｃｍ、ＦＢ＝ＡＤです。
　すると△ＦＣＢと△ＦＧＡは相似比１：２の相似形になるのでＡＧ＝２ｃｍです。
　以上より求める面積＝△ＦＤＡ－△ＦＢＣ
　　　　　　　　　　＝（５＊２）／２－（２＊１）／２
　　　　　　　　　　＝４ｃｍ２
となります。

お礼

ありがとうございました。
このようにDCとABを延長して考える解答が最も素直な発想なような気がします。
大変助かりました。

回答No.4

noname#189285

No3で回等した者です。すみません、間違って四角形ABCDの面積を出してました。これが4cm2という答えは合っています。

以降の記述も、添付図はNo3を参照して下さい。

求めるのは四角形ABEDなので、No3で求めた答えから三角形BCEの面積を引いたら出ます。

図から明らかなように(No3で求めた四角形は正方形なので)、線CE＝1cmと分かります。従って三角形BCEの面積は1×1÷2＝1/2です。

従って求める答えは4-1/2＝7/2です。

以上です。

お礼

ありがとうございました。
わざわざ図を使って解説していただき、非常にわかりやすかったです。

回答No.3

noname#189285

直角三角形の合同条件「斜辺と1つの鋭角とがそれぞれ等しい」のみ使って解きます。

下の添付図を参照して下さい。

最初に、緑の直角三角形を補助線として書きます。

次に三角形ADEを直角に二等分した赤の三角形を考えます。図に示す角度をαとした時、点Dの角度は三角形の内角の和が180°より、180-α-90＝90-αです。βの角度は四角形の内角の和が360°より360-(90-α)-90-90＝90+αです。

以上から、点Aにおける緑の三角形の角度もαと分かるので、冒頭で述べた条件より二つの三角形は合同と分かります。

また角DABが直角であることから、点Bでの水色で示す角度は180°と分かります。赤の三角形の底辺は2÷2＝1cmなので緑の底辺も1cm、また水色が180°なので赤の高さは2cm、緑も2cmと分かります。

赤と緑は合同であるため、求めようとする四角形の答えは、赤を切り取って緑を足したものと同じなので、

2×2＝4cm2

以上です。

回答No.2

2940429

図の四角形ABEDにおいて,

角DAB+角ABE+角BED+角EDA=360

AB=AD=AEので、角ABE=角AEB,角AED=角ADE.

だから、角DAB+角ABE+角BED+角EDA＝角DAB+角AEB+角BED+角AED =90+2角BED=360

90+2角BED=360
角BED=135
角CEB+角BED=180ので、角CEB＝４５

だから、EC=BC=1.DC=2+1=3
DB=√10,
それにAD=ABので、AD=AB=√5

ABCDの面積=ABDの面積+BCDの面積
S=S1+S2=1/2ABXAD+1/2BCXCD=5/2+3/2=4

お礼

ありがとうございました。
平方根を使って解くのであれば、このような解答が良いですね。