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中2レベルの図形の問題についてです。
中2レベルの図形の問題についてです。 ある数学の図形の問題がどうしても解けません。わかる方がおられればぜひご教授ください。 問題は、Xの角度の大きさを求めろというものです。 与えられた条件は 「周りの四角形が平行四辺形だ」 ということだけです。 大きいサイズの画像は以下のリンクにアップしてあります。 http://picasaweb.google.com/mush.murakami219/Something#5541979720504378786 先生曰く、中2レベルの図形の知識で解けるそうです。 補助線は2本必要だそうです。 とても困っています。中学生でもわかる説明をしていただけると助かります。 よろしくお願いします。
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- htms42
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思いつきでしか解くことができないということであればパズルだと言われても仕方がありません。 でも実際に図を書いてみるとｘの値は決まっているということが分かります。 簡単な図形ですから角度を決める簡単な方法がないとなると癪に障るという事になります。 思い付きの要素をできるだけ少なくするためには 実際に作図をして角度の決まって行く道筋を追いかけてみるのがいいと思います。 あなたは図を適当に書いていますね。 どうやれば∠ＤＢＣ＝１５°、∠ＡＣＢ=３０°の平行四辺形を描くことができるかを考えてみましたか。 （１）まずＢＣを引きます。 （２）Ｂから線ＢＰを∠ＰＢＣ＝１５°になるように引きます。 Ｃから線ＣＱを∠ＱＣＢ＝３０°になるように引きます。 交点をＲとします。 （３）ＣＱ上にＡＲ＝ＲＣとなる点Ａを取ります。 （４）Ａが決まると平行四辺形ＡＢＣＤを描くことができます。 ・（３）でＡＲ＝ＲＣとしたところに四辺形ＡＢＣＤは平行四辺形であるということを使っています。 （平行四辺形では対角線が互いに二等分されています。） ・∠ＡＢＲ＝ｘ°でしたからｘを決めることは三角形ＡＢＣだけについて考えるだけでいいということが分かります。（平行四辺形であるという事に目が行ってしまうとＤにからんだ角度も考えなくてはいけないように思ってしまいますので考える対象が広がってしまって混乱します。） ・ＲがＡＣの中点であるという事、∠ＡＣＢ＝３０°であることから とりあえずはＡから辺ＢＣに垂線ＡＨを下ろしてみようということが思い浮かびます。 ・３０°、６０°の直角三角形ができれば後は一気に進みます。 ＡＲ＝ＲＣ＝ＡＢ＝ＲＢ ∠ＲＢＨ＝１５°、∠ＲＨＣ＝３０°という事から∠ＢＲＨ=１５°→ＢＨ＝ＨＲ ・△ＡＢＨが直角二等辺三角形であることが出てきます。 ∠ＡＢＨ＝４５°
- momordica
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平行四辺形ABCDの対角線の交点をEとし、辺BC上に∠EFC=30°となる点Fをとります。 ∠EFB=30°、∠EBC=15°から、それぞれ図中で値が求められる角を求めて行くと、 △EFC、△FBEはそれぞれ二等辺三角形、△AEFは正三角形、△ABFは直角二等辺三角形で あることが分かりますので、∠ABE=30°となります。 （この辺りは実際に角度を求めて確かめてみください） 確かに中2までの知識で解けますが、思いつきが必要なパズルのようなものなので、 解けなければいけない問題というわけでもないでしょう。 この手の問題は、二等辺三角形、正三角形。直角三角形などの性質を利用することに なるので、図を書くときはできるだけ正確に書く事がコツです。 等しいはずの辺が等しく見えなかったり、直角になるはずの角が直角に見えない図では 思いつくものも思いつきません。
- Mr_Holland
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補助線が2本といえるかどうか分かりませんが、とりあえず x=30° と求めることはできます。 ＃１さんの頂点の記号A～Eを踏襲して、点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとし、直線HEと辺ADとの交点をFとします。 すると、四角形AHCFは長方形となりますので、2本の対角線の長さは等しく、互いに二等分します。 AE=EC=HE ・・・・・(1) 従って △AHEはAE=HEの二等辺三角形であり 底角が等しいので ∠EAH=∠EHA ・・・・・(2) 次に△AHCで∠AHC=90°、∠ACH=30°なので三角形の内角の和から ∠HAE=60° ・・・・・(3) また、△EBCで1つの外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しいので ∠BEA=∠EBC+∠ECB =45° ∴∠HEB=∠HEA-∠BEA =15° △HBEで ∠HBE=∠HEB=15° なので △HBEは二等辺三角形で BH=HE ・・・・・・(4) △ABHで (1),(4)と∠AHB=90° から △ABHは直角二等辺三角形と分かり、 ∠ABH=45° ∴x=∠ABE=∠ABH-∠EBE=30°
与えられた平行四辺形の頂点を左上からA.B,C,Dとし，2本の対角線の交点をEとすると 内角と外角の関係から∠AEB＝15°＋30°＝45° 錯角は等しいことから∠DAC＝30° 三角形の内角の関係から∠BAE＝180°－(x°－45°)＝225°－x° 以上より，同側内角の和は180°であるから 30°＋(225°－x°)＋x°＋15°＝180° となってx°の項が消えますので，求める角度は一意に決まりません。
