OpenGL エアホッケーの移動について

質問

現在こちらのホームページで勉強中なのですが
http://www.wakayama-u.ac.jp/~tokoi/opengl/ex-f.html
こちらのエアホッケーの移動で悩んでいます。

パックの質量を m とし，それが速度 v に比例した摩擦力 -µv を受けて運動するとき，初期位置を p0，初速度を v0 とすれば，時刻 t における速度 v と位置 p は次式で求めることができます．
v = v0 e-(µ/m) t

とあるのですが
v0以降になにをやっているのか悩んでいます

eは上の文章中に書かれていませんし・・・
-(µ/m) tはu/mにtをかけて、結果を負のべき乗を行うのだと思うのですが。

もしよろしければどのような計算を行えばいいのか教えていただけないでしょうか
よろしくお願いします

回答No.2

qwertfk · ベストアンサー

そこがわからないのであればちょっと難しいかもしれないですが．．．

まずニュートンの法則に従うと、物体にかかる力(F)と加速度(a)、質量(m)の関係は

F = ma

となります。

今回、物体にかかる力は速度に比例する、ということなので

F = μv

すなわち

μv = ma
=> a = μv / m

という具合に空気抵抗によって発生する加速度を得ることが出来ます。

加速度とは速度を時間で微分したものなので、

a = dv / dt
=> dv / dt = μv / m

あとは、この微分方程式を解いていきます。

=> (1/v)dv = (μ/m)dt
=> log(v) = (μ/m)t + c {c:積分定数}
=> v = e^{ (μ/m)t + c }
=> v = {e^(μ/m)t}・{e^c}

この式で時間0の場合を考えると
v0 = {e^0}・{e^c} = {e^c}
となる。したがって、時間tにおける速度vは

v = v0・e^(μ/m)t

となる。

定数の符号が逆になっているのが気になるのであれば、
μ = -k として

v = v0・e^-(k/m)t

で提示された式と一致する。

という感じです。

ただ、この問題の場合は式の内容は導出方法がわからなくても提示された式をそのまま使ってプログラムを書けばとける問題なので、難しいことは考えずにとりあえずコードを書いてみるほうが良いのではないかと思います。

お礼

なるほど、負の冪乗の部分は勘違いで普通に冪乗を行えばいいのですね
eの部分は2.71828182845904523536として行うと、プログラム上は問題なさそうです。

式の内容やとき方はネットでひとつづつ調べて理解していこうと思います。

回答No.3

Tacosan

exp も使ってやってほしい.

お礼

expもあったんですね。
数学の知識なしでゲーム作っていたので
まずいと思って最近勉強していたので
気づきませんでした。

回答No.1

qwertfk

摩擦力と書かれていますが、この式だと空気抵抗っぽいです。

空気抵抗は速度に比例するので

F = μv

となる。

F = ma = μv
=> a = μv / m
=> dv / dt = μv / m

...

と後は微分方程式を解いていけばその式になります。
ちなみに、eは自然対数の底です。

お礼

丁寧にありがとうございます。
ですがどうも私の方で数学の知識がぜんぜん足りていないみたいで
Fがどこからでてきたとかmaがどこから出てきたのかわからないレベルで・・・
わざわざ書いていただいたのに申し訳ないです。

もしよろしければもう少し詳しく書いていただけると助かります
（これ以上簡単にはできなかったらすみません。）
よろしくお願いします。