直方体ABCD-EFGHにおいて、AE=√10、AF=8、AH=10と

質問

直方体ABCD-EFGHにおいて、AE=√10、AF=8、AH=10とする。
このとき、FH=12、cos∠FAH1/8である。また、△AFHの面積は15√7である。
次に、∠AFHの二等分線と辺AHの交点をP、∠FAHの二等分線と辺FHの交点をQ、線分FPと線分AQの交点をRとする。(Rは△AFHの内心)
また、AP=4、PF:PR=3:1となる。

これより、四面体EAPRの体積を求めよ。

PF:PRの比率まで出たのですが体積が解けません(>_<)
どなたか教えてください！

回答No.2

info22_

直方体の体積Vは底面積x高さで出ます。
V=EF*EH*AE …(1)
AE=√10なのでEFとEHの２辺の長さを求めればよい。
3平方の定理から
EF=√(AF^2-AE^2)=√(64-10)=3√6…(2)
EH=√(AH^2-AE^2)=√(100-10)=3√10…(3)
よって(1)から
V=3√6*3√10*√10=90√6…(4)

さて四面体EAPRの体積V4であるが,△EAPを底面、Rを頂点とする三角錐と見れば、

底面の面積△EAP=△EAH*AP/(AP+PH)=△EAH*8/(8+12)
(∵△RAPで角の２等分定理を用いればAP：PH=AF:FH=8:12)

=△EAH*(2/5)=AE*EH*(1/2)*(2/5)=√10*3√10*(1/2)*(2/5)=6
(∵(3)より）

四面体EAPRの高さ=EF*(PR/PF)=3√6*(1/3)=√6
(∵(2)より）

以上から
∴四面体EAPRの体積=△EAP*(四面体EAPRの高さ)/3=6*√6/3=2√6

お礼

できました！ありがとございました(^人^)

回答No.1

nag0720

PF:PR=3:1　ということは、△EAPを底面としたときの三角錐の高さが、EFの1/3ということです。

また、△EAPで、AEを底辺とすれば、三角形の高さは、EHの4/10です。

AF^2=AE^2+EF^2
AH^2=AE^2+EH^2
からEFとEHが求まりますから、三角錐の体積が分かりますね。

お礼

解けました!ありがとうございます